[논문 리뷰] Bogomolov multipliers and retract rationality for semi-direct products

Ming-chang Kang|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 25.

Finite Group Theory Research참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $ \gcd(|N|, |G_0|) = 1 $ 조건을 만족하는 반직접곱 $ G = N \rtimes G_0 $ 에 대해 보고몰로프 승수 $ B_0(G) $ 의 공식을 수립하며, $ B_0(G) \cong B_0(N)^{G_0} \times B_0(G_0) $ 를 보이고, $ B_0(G_1 \times G_2) \cong B_0(G_1) \times B_0(G_2) $ 를 증명한다. 또한 임의로 큰 $ p $-랭크와 지수-$ p^n $ 보고몰로프 승수를 가진 비직접곱 $ p $-군을 구성하며, 무한체 위에서 단위근을 포함하는 경우에 대해 군 체의 재구성 유리성 기준을 일반화한다.

ABSTRACT

Let $G$ be a finite group. The Bogomolov multiplier $B_0(G)$ is constructed as an obstruction to the rationality of $\bm{C}(V)^G$ where $G o GL(V)$ is a faithful representation over $\bm{C}$. We prove that, for any finite groups $G_1$ and $G_2$, $B_0(G_1 imes G_2)\xrightarrow{\sim} B_0(G_1) imes B_0(G_2)$ under the restriction map. If $G=N times G_0$ with $\gcd\{|N|,|G_0|\}=1$, then $B_0(G)\xrightarrow{\sim} B_0(N)^{G_0} imes B_0(G_0)$ under the restriction map. For any integer $n$, we show that there are non-direct-product $p$-groups $G_1$ and $G_2$ such that $B_0(G_1)$ and $B_0(G_2)$ contain subgroups isomorphic to $(\bm{Z}/p \bm{Z})^n$ and $\bm{Z}/p^n \bm{Z}$ respectively. On the other hand, if $k$ is an infinite field and $G=N times G_0$ where $N$ is an abelian normal subgroup of exponent $e$ satisfying that $ζ_e\in k$, we will prove that, if $k(G_0)$ is retract $k$-rational, then $k(G)$ is also retract $k$-rational provided that certain "local" conditions are satisfied; this result generalizes two previous results of Saltman and Jambor \cite{Ja}.

연구 동기 및 목표

• 직접곱에 대한 기존 결과를 확장하여, $ \gcd(|N|, |G_0|) = 1 $ 조건을 만족하는 반직접곱 $ G = N \rtimes G_0 $ 에 대해 보고몰로프 승수 $ B_0(G) $ 의 구조를 규명하는 것.
• 제약 사상 하에서 $ B_0(G_1 \times G_2) \cong B_0(G_1) \times B_0(G_2) $ 를 증명하여, 승수의 곱군에 대한 행동을 일반화하는 것.
• 비직접곱 $ p $-군 $ G_1 $ 과 $ G_2 $ 를 구성하여, $ B_0(G_1) $ 이 $ (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n $ 과 동형인 부분군을 포함하고 $ B_0(G_2) \cong \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} $ 가 되도록 하는 것. 이는 비아벨리안이고 비직접곱인 군들 내에서 큰 승수를 보여주는 것이다.
• 만일 $ k(G_0)$ 이 재구성 $ k $-유리적이고 특정 국소 조건이 만족되면, $ N $ 이 아벨리안이고 $ \zeta_e \in k $ 이면 $ G = N \rtimes G_0 $ 에 대해 $ k(G) $ 가 재구성 $ k $-유리적임을 증명함으로써, 살트만과 잼보르의 재구성 유리성 기준을 일반화하는 것.

제안 방법

• 모든 이중순환부분군 $ A \leq G $ 에 대해 $ H^2(G, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) $ 에서 $ H^2(A, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) $ 로의 제약 사상의 핵들의 교차로 보고몰로프 승수를 정의하고, $ \operatorname{Br}_{v,k}(k(G)) \cong B_0(G) $ 와 같은 동형을 활용하는 것.
• 호치실드-세르르 스펙트럴 시퀀스를 적용하여 $ B_0(G) $ 를 $ B_0(N)^{G_0} \times B_0(G_0) $ 와 연결하며, $ G_0 $ 가 $ B_0(N) $ 에 코너지션을 통해 작용한다는 사실을 이용하는 것.
• 특정 생성자들과 관계식을 포함하는 군 표현을 사용하여, 순서가 각각 $ p^5 $ 와 $ p^6 $ 인 명시적 $ p $-군 $ G_1 $ 과 $ G_2 $ 를 구성함으로써 원하는 승수 구조를 실현하는 것.
• 호치실드-세르르의 7항 정확시퀀스를 사용하여 순서 $ p^5 $ 와 $ 2^6 $ 인 $ p $-군에 대해 $ B_0(G) $ 를 계산하며, 알려진 경우에 $ B_0(G) \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $ 또는 $ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $ 임을 보이는 것.
• 만일 $ k $ 가 무한체이고 $ \zeta_e \in k $ 이며 $ k(G_0) $ 가 재구성 $ k $-유리적이라면, 국소 조건이 만족되면 $ k(G) $ 가 재구성 $ k $-유리적임을 증명하는 데, 유리 섹션의 존재성과 대수기하 기법을 사용하는 것.
• 이중 1-코호몰로지 $ \alpha $ 를 순환부분군 $ \langle x \rangle \leq A $ 에서 정의된 1-코호몰로지 $ \beta $ 를 통해, $ A = \langle x, y \rangle $ 에서의 2-코호몰로지가 코 boundary가 되도록 하여, 코homology에서의 자명성을 보장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반직접곱 $ G = N \rtimes G_0 $ 에 대해 $ \gcd(|N|, |G_0|) = 1 $ 라면 보고몰로프 승수 $ B_0(G) $ 의 구조는 어떠한가?
• RQ2 직접곱에 대해 $ B_0(G_1 \times G_2) \cong B_0(G_1) \times B_0(G_2) $ 는 성립하는가? 특히 제약 사상 하에서의 행동은 어떻게 되는가?
• RQ3 임의로 큰 $ p $-랭크 또는 지수-$ p^n $ 보고몰로프 승수를 가진 비직접곱 $ p $-군을 구성할 수 있는가?
• RQ4 $ N $ 이 아벨리안이고 $ \zeta_e \in k $ 이면, $ G = N \rtimes G_0 $ 에 대해 $ k(G_0) $ 가 재구성 $ k $-유리적일 때 어떤 조건에서 $ k(G) $ 도 재구성 $ k $-유리적일까?
• RQ5 반직접곱의 보고몰로프 승수를 분해하는 데 있어 제약 사상 $ \operatorname{res}: B_0(G) \to B_0(N)^{G_0} \times B_0(G_0) $ 의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 직접곱의 경우, 제약 사상 하에서 $ B_0(G_1 \times G_2) \cong B_0(G_1) \times B_0(G_2) $ 를 만족하며, 이는 기존 결과를 일반화한다.
• 만일 $ G = N \rtimes G_0 $ 이고 $ \gcd(|N|, |G_0|) = 1 $ 이면, 제약 사상 하에서 $ B_0(G) \cong B_0(N)^{G_0} \times B_0(G_0) $ 를 만족하며, 이는 승수의 분해를 제공한다.
• 모든 정수 $ n $ 에 대해, $ B_0(G_1) $ 이 $ (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n $ 과 동형인 부분군을 포함하고 $ B_0(G_2) \cong \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} $ 가 되는 비직접곱 $ p $-군 $ G_1 $ 과 $ G_2 $ 가 존재한다. 이는 비아벨리안이고 비직접곱인 군들 내에서 큰 승수를 보여준다.
• 만일 $ k $ 가 무한체이고 $ \zeta_e \in k $ 이며 $ k(G_0) $ 가 재구성 $ k $-유리적이라면, 특정 국소 조건이 만족되면 $ k(G) $ 도 재구성 $ k $-유리적임을 증명하며, 살트만과 잼보르의 결과를 확장한다.
• 순서가 $ p^5 $ (홀수 $ p $) 이거나 $ 2^6 $ 인 $ p $-군에 대해, $ B_0(G) \neq 0 $ 이 되는 것은 특정 이소클리즘 가족에 속할 때에만 가능하며, 그 경우에 $ B_0(G) \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $ 또는 $ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $ 가 된다.
• 증명은 보고몰로프 승수 $ B_0(G) $ 의 임의의 2-코호몰로지가 모든 이중순환부분군 $ A \leq G $ 에서 코 boundary가 되며, 순환부분군 $ \langle x \rangle \leq A $ 에서 정의된 1-코호몰로지 $ \alpha $ 로부터 유도된 1-코호몰로지 $ \beta $ 를 구성함으로써, 코homology에서 자명성을 보장함을 보여준다.