[논문 리뷰] Bohr-Sommerfeld quantization condition for non-selfadjoint operators in dimension 2

Anders Melin, Johannes Sjoestrand|ArXiv.org|2001. 11. 28.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 9인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 완전 통합성을 가정하지 않고 2차원 비자기적 $h$-임의의 미분 연산자에 대해 보어-좀머펠트 양자화 조건을 수립한다. 복소 도메인에서 KAM 유형 정리에 의해 복소 라그랑주 분할을 구성하고, 작은 비선형성을 가진 코시-리만 방정식을 풀어, 고정된 $h$-독립 영역 내의 고유값이 실수 행동에 대한 양자화 조건에 의해 결정됨을 보여주며, 반고전 스펙트럼 이론을 비자기적 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

For a class of non-selfadjoint h-pseudodifferential operators in dimension 2, we determine all eigenvalues in an h-independent domain in the complex plane and show that they are given by a Bohr-Sommerfeld quantization condition. No complete integrability is assumed, and as a geometrical step in our proof, we get a KAM-type theorem (without small divisors) in the complex domain.

연구 동기 및 목표

• 복소 평면 내 $h$-독립 영역에서 2차원 비자기적 $h$-임의의 미분 연산자의 모든 고유값을 결정하기 위해.
• 기본 고전 시스템의 완전 통합성을 가정하지 않고 이러한 고유값에 대해 보어-좀머펠트 유형의 양자화 조건을 유도하기 위해.
• 복소 도메인에서 KAM 유형 정리를 사용하여 실수 토러스 $p^{-1}(0) \cap \mathbb{R}^4$ 근처에서 $p^{-1}(0)$의 복소 라그랑주 분할을 구성하기 위해.
• 고유값이 실수 행동 $I_j(\Gamma)$에 의해 결정됨을 보여주기 위해, $\sigma|_\Gamma = 0$ 를 만족하는 토러스 $\Gamma \subset \mathbb{C}^4$ 에서.
• 스펙트럼 문제와 함수 $I(\Lambda) = \int_\Lambda \log|p| \, \mu$ 를 포함하는 변분 원리 사이의 연결을 수립하기 위해.

제안 방법

• 복소 매개수 $a$ 에 따라 해석적으로 의존하는 복소 2차원 토러스 $\Gamma_a \subset p^{-1}(0) \cap \mathbb{C}^4$ 를 구성하여, $\sigma|_{\Gamma_a} = 0$ 이고 $I_j(\Gamma_a) \in \mathbb{C}$ 를 만족시키기 위해.
• $L_a = \{ \exp(\widehat{tH_p})(\rho) \mid \rho \in \Gamma_a, \, t \in \mathbb{C}, \, |t| < 1/C \} $ 를 정의하여, $p^{-1}(0) \cap \mathbb{R}^4$ 근처에서 $p^{-1}(0)$ 의 해석적 분할을 형성하기 위해.
• $\Gamma_a$ 의 구성 문제를 다가치 함수에 대해 단일값의 기울기를 가지는 함수(기울기-주기 함수)의 토러스 위에서의 해밀턴-자비 방정식으로 환원하기 위해.
• 해밀턴-자비 방정식을 작은 비선형성을 가진 복소 코시-리만 방정식으로 변환하여, 비정수 $C^m$-공간에서 반복 방법으로 해를 구하기 위해.
• 행동 $I_j(\Gamma)$ 의 실수성으로 인해, $\mathbb{R}^4$ 근처에 존재하는 실수 라그랑주 다양체 $\Lambda \subset \mathbb{C}^4$ 가 존재함을 보장하기 위해.
• 스펙트럼 행렬식에 대한 渐近 분석과 테일러 전개를 적용하여, 공진수가 $h$ 의 거듭제곱에 대한 보어-좀머펠트 유형 전개를 만족함을 보여주며, 계수들이 $2\pi h(k - \theta_0)$ 에 대한 동차 다항식임을 보임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전 통합성을 가정하지 않고도 비자기적 연산자에 대해 2차원에서 보어-좀머펠트 양자화 조건을 도출할 수 있는가?
• RQ2 기본 흐름이 실수 수준 집합에 근사적으로 타당한 경우, 실수 토러스 $p^{-1}(0) \cap \mathbb{R}^4$ 근처에서 $p^{-1}(0)$ 의 복소 라그랑주 분할을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 행동 $I_j(\Gamma)$ 의 실수성은 $\Gamma$ 를 포함하는 실수 라그랑주 다양체 $\Lambda$ 가 존재함을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 연산자의 스펙트럼 점근적 성질은 복소 라그랑주 분할과 행동 변수의 기하학과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 스펙트럼 전개가 $h$ 에 대한 형식적 거듭제곱 급수임을 보일 수 있으며, 계수들이 $2\pi h(k - \theta_0)$ 에 대한 동차 다항식인가?

주요 결과

• 완전 통합성을 가정하지 않더라도, $h$-독립 영역 내에서 비자기적 연산자의 고유값은 보어-좀머펠트 양자화 조건에 의해 주어진다.
• 실수 토러스 $p^{-1}(0) \cap \mathbb{R}^4$ 근처에서 $p^{-1}(0)$ 의 복소 라그랑주 분할 $L_a$ 가 구성되었으며, $L_a$ 는 복소 매개수 $a$ 에 따라 해석적으로 의존한다.
• $\sigma|_\Gamma = 0$ 이고 $I_j(\Gamma) \in \mathbb{R}$ 를 만족하는 토러스 $\Gamma \subset \mathbb{C}^4$ 가 존재하는 것과 실수 라그랑주 다양체 $\Lambda$ 가 $\Gamma$ 를 포함하는 것이 동치이다.
• 스펙트럼 점근적 성질가 $z \sim \sum_{j=0}^\infty K_j(2\pi h(k - \theta_0), 1) h^j$ 의 형태임을 보였으며, 여기서 $K_j(\theta, 1)$ 은 0의 $j$-독립 이웃 영역에서 매끄럽다.
• 전개의 계수 $K_{j,\ell}$ 는 차수 $1 + \ell - j$ 의 동차 다항식이며, 차이 $F_{j,\ell} = K_{j,\ell} - \widetilde{K}_{j,\ell}$ 는 무한 차수로 소멸하므로, $K_{j,\ell}$ 는 유일하게 결정됨을 보였다.
• 최종 스펙트럼 전개가 $h$ 에 대한 형식적 거듭제곱 급수이며, 계수들이 $2\pi h(k - \theta_0)$ 의 매끄러운 함수임을 보여, 보어-좀머펠트 구조가 확인됨.