[논문 리뷰] Bombieri-Vinogradov for multiplicative functions, and beyond the $x^{1/2}$-barrier

Andrew Granville, Xuancheng Shao|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 20.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 25인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $ |f(n)| \leq 1 $인 곱셈적 함수 $ f $에 대해 Bombieri-Vinogradov 유형 정리의 확장판을 수립한다. $ 1 $-Siegel-Walfisz 조건 하에서 모듈러스 $ q \leq x^{20/39 - \delta} $ 범위까지 이를 확장하며, 이러한 평균의 크기가 $ \ll x / (\log x)^{1 - \varepsilon} $ 이하로 유계임을 보이고, 예외적 특성들을 고려한 상황에서도 이 오차항의 크기가 거의 최적임을 예시를 통해 입증한다.

ABSTRACT

Part-and-parcel of the study of "multiplicative number theory" is the study of the distribution of multiplicative functions in arithmetic progressions. Although appropriate analogies to the Bombieri-Vingradov Theorem have been proved for particular examples of multiplicative functions, there has not previously been headway on a general theory; seemingly none of the different proofs of the Bombieri-Vingradov Theorem for primes adapt well to this situation. In this article we find out why such a result has been so elusive, and discover what can be proved along these lines and develop some limitations. For a fixed residue class $a$ we extend such averages out to moduli $\leq x^{\frac {20}{39}-δ}$.

연구 동기 및 목표

• 고전적 $ x^{1/2} $ 장벽을 넘어서 $ |f(n)| \leq 1 $인 곱셈적 함수 $ f $에 대해 일반적인 Bombieri-Vinogradov 유형 정리를 개발하는 것.
• 작은 도전자 수를 가진 디리클레 특성과 강하게 상관되는 경우 이러한 정리의 한계를 규명하는 것.
• Siegel-Walfisz 조건이 실패할 경우 곱셈적 함수에 대한 Bombieri-Vinogradov 설정에서 최선의 오차 bound를 결정하는 것.
• Gowers $ U^k $-노름을 이용한 고차원 분포 성질 탐색과 산술 등차수열 내 평균 분포와의 연관성 탐색.

제안 방법

• 곱셈적 함수 $ f \in \mathcal{C} $에 대해 일반화된 Bombieri-Vinogradov 평균 $ \sum_{q \sim Q} \max_{(a,q)=1} |\Delta(f,x;q,a)| $ 을 도입하며, 여기서 $ \mathcal{C} $ 는 $ |\Lambda_f(n)| \leq \Lambda(n) $ 를 만족하는 곱셈적 함수의 집합이다.
• 함수 $ f $가 낮은 도전자 수를 가진 특성과 강하게 상관되지 않을 경우 오차항을 제어하기 위해 $ 1 $-Siegel-Walfisz 조건을 사용한다.
• 예외적 특성 $ \psi $ 에 대해 $ |S_f(x,\psi)| $ 가 큰 경우를 고려하고, 그 기여를 $ \sigma_f(x,\psi) = \sup_{x^{1/2} < X \leq x} |S_f(X,\psi)/X| $ 를 통해 유계로 제한한다.
• 가우스 합과 특성의 argument의 균일 분포를 이용한 구체적 예시를 구성하여, $ x / (\log x)^{1 - \varepsilon} $ bound 가 거의 최적임을 보인다.
• 매끄러운 지지 집합과 강한 상쇄 조건 하에서, Gowers $ U^k $-노름을 이용해 결과를 고차원 균일성으로 일반화하며, 거의 모든 $ q \leq Q $ 에 대해 $ \|f(q\cdot + a)\|_{U^k(x/q)} \leq \varepsilon $ 임을 보인다.
• Gowers 노름의 역정리와 같은 덧셈적 조합론의 결과를 활용하여, nilsequence와의 상관관계를 예외적 모듈러스와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 곱셈적 함수 $ f $ 에 대해 $ |f(n)| \leq 1 $ 이면, $ x^{1/2} $ 장벽을 넘어서도 Bombieri-Vinogradov 유형 정리가 성립할 수 있는가?
• RQ2 이러한 정리에서 최선의 오차항은 무엇이며, 이는 $ f $ 가 작은 도전자 수를 가진 디리클레 특성과의 상관관계에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 von Mangoldt 함수나 Möbius 함수가 아니지만 일반적인 곱셈적 함수인 경우, 고전적 Bombieri-Vinogradov 방법이 얼마나 잘 적용될 수 있는가?
• RQ4 고차원 Gowers 노름은 산술 등차수열 내 곱셈적 함수의 분포와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 $ \ll x / (\log x)^{1 - \varepsilon} $ bound 가 $ \varepsilon $-요소를 제외하고도 정확한가?

주요 결과

• 논문은 $ 1 $-Siegel-Walfisz 조건을 만족하는 곱셈적 함수 $ f \in \mathcal{C} $ 에 대해, 모듈러스 $ q \leq x^{20/39 - \delta} $ 범위까지 Bombieri-Vinogradov 유형 bound 를 수립한다. 이는 고전적 $ x^{1/2} $ 장벽을 초월한다.
• 오차항은 $ \ll x / (\log x)^{1 - \varepsilon} $ 이하로 유계이며, 이 bound 가 거의 최적임을 예시를 통해 입증한다.
• 임의의 고정된 $ k $ 에 대해, $ f $ 가 $ y $-스무스 수에 지지되고 강한 상쇄 조건을 만족할 경우, 거의 모든 $ q \leq Q = x^{1/2} / (y^{1/2} (\log x)^A) $ 에 대해 $ f(q\cdot + a) $ 의 Gowers $ U^k $-노름이 $ \leq \varepsilon $ 이하임을 보인다.
• 저자들은 $ x / (\log x)^{1 - \varepsilon} $ bound 가 $ \varepsilon $-요소를 제외하고 최적임을 보이며, $ \sum_{q \sim Q} \max_a |\Delta(f,x;q,a)| \gg x / (\log x)^{1 - \varepsilon'} $ 가 성립하는 $ \mathcal{C} $ 에 속하는 함수 $ f $ 를 구성함으로써 이를 입증한다. 여기서 $ \varepsilon' \sim 2 / \sqrt{3k} $ 이다.
• 함수 $ f $ 가 많은 원시적 특성 $ \psi \pmod{q} $ 와 상관관계를 가질 경우, $ 1 - \text{Re}(g(\psi)) > 1 - 1/(2\sqrt{q}) $ 를 만족하는 특성의 수는 약 $ q/3 $ 개이며, 이는 $ S_f(x,\psi) $ 가 크게 되어 Bombieri-Vinogradov bound 의 강도를 제한한다.
• Gowers 노름을 통해 결과를 고차원 균일성으로 확장하였으며, $ 1 $-Siegel-Walfisz 조건과 매끄러운 지지 집합 하에서, $ q \leq x^{1/2 - o(1)} $ 에서 평균적으로 $ \|f(q\cdot + a)\|_{U^k(x/q)} \to 0 $ 임을 보였다.