[논문 리뷰] Book embeddings of graphs and a theorem of Whitney

Paul C. Kainen, Shannon Overbay|arXiv (Cornell University)|2021. 10. 02.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 13인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 모든 삼각형이 면을 둘러싸는 '아름다운 평면 그래프'가 두 페이지 책 매bedding을 허용함을 증명한다. 이는 윙스터의 정리의 확장이다. 책 두께는 블록의 최대 책 두께에 의해 결정됨을 증명하여 X-트리와 정사각형 격자에 대한 효율적인 매bedding을 가능하게 하며, 평면 그래프가 책 두께가 최대 2인 그래프와 홈오모르픽하다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

It is shown that the number of pages required for a book embedding of a graph is the maximum of the numbers needed for any of the maximal nonseparable subgraphs and that a plane graph in which every triangle bounds a face has a two-page book embedding. The latter extends a theorem of H. Whitney and gives two-page book embeddings for $X$-trees and square grids.

연구 동기 및 목표

• 모든 삼각형이 면을 둘러싸는 그래프에 대해 윙스터의 평면 그래프에서의 해밀턴 사이클 정리의 일반화를 시도한다.
• 특히 비분리 부분그래프에 중점을 두어 블록 분해를 통해 그래프의 책 두께를 특성화한다.
• X-트리와 정사각형 격자와 같은 중요한 그래프 가족에 대해 두 페이지 책 매bedding을 증명하는 통합 프레임워크를 제공한다.
• 홈오모르피즘을 통한 평면성과 책 매bed딩 간의 연결 고리를 확립하여, 평면 그래프가 책 두께가 최대 2인 그래프와 홈오모르픽하다는 것을 보여준다.

제안 방법

• 그래프의 블록 분해를 사용하여 책 두께가 블록(최대 비분리 부분그래프)의 책 두께의 최댓값과 같음을 보인다.
• 블록-커퍼트리에 따른 귀납적 구성으로 증명된 보조정리에 따라, 그래프의 책 두께는 그 블록들의 책 두께의 최댓값과 같다.
• 모든 삼각형이 면을 둘러싸는 그래프를 '아름다운 평면 그래프'로 정의하여 책 매bedding에 적합한 구조적 강성을 확보한다.
• 분리 삼각형을 피하기 위해 정확히 추가된 정점과 간선을 통해 아름다운 평면 그래프의 확장된 형태에서 해밀턴 사이클을 구성한다.
• 서브해밀턴 그래프(초기 그래프의 해밀턴 사이클을 포함하는 확장 그래프)는 두 페이지 책 매bedding을 허용한다는 사실을 활용한다.
• 위상수학적 그래프 이론을 적용하여, 간선 분할을 통해 짝수 사이클을 보장함으로써 평면 그래프가 책 두께가 최대 2인 그래프와 홈오모르픽하다는 것을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 삼각형이 면을 둘러싸는 그래프에 대해 윙스터의 평면 그래프에서의 해밀턴 사이클 정리가 확장될 수 있는가?
• RQ2 책 두께와 그래프의 블록 분해 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 X-트리와 정사각형 격자는 두 페이지 책 매bedding을 허용하는가? 만약 그렇다면 그 이유는 무엇인가?
• RQ4 모든 평면 그래프는 책 두께가 최대 2인 그래프와 홈오모르픽한가?
• RQ5 그래프의 책 두께는 그 블록들의 최대 책 두께만으로 결정될 수 있는가?

주요 결과

• 그래프의 책 두께는 블록-커퍼트리에 따른 귀납적 구성으로 증명된 바로 그 결과로, 그 블록들의 책 두께의 최댓값과 같다.
• 모든 아름다운 평면 그래프—모든 삼각형이 면을 둘러싸는 그래프—는 두 페이지 책 매bedding을 허용하며, 윙스터의 정리를 확장한다.
• X-트리와 정사각형 격자는 서브해밀턴이므로 두 페이지 책 매bedding을 허용하며, 이는 이전에 직접 계산으로 증명된 가족에 대해 일반적인 증명을 제공한다.
• 평면 그래프는 책 두께가 최대 2인 그래프와 홈오모르픽하며, p개 정점이 있는 그래프의 경우 최대 p−2개의 스피인 교차를 포함하여 이러한 매bedding을 구성할 수 있다.
• 삼각형이 없는 이분 그래프(즉, 아름다운 평면 그래프이기도 함)는 두 페이지 책 매bedding을 허용한다.
• 이 결과는 캐럴랜드, 젤러, 헤데트니에미의 추측—즉, 평면 그래프가 두 개의 외평면 그래프의 간선 분리 합집합임—이 아름다운 평면 그래프에 대해 성립함을 암시한다.