[논문 리뷰] Bootstrap confidence bands for spectral estimation of Lévy densities under high-frequency observations

Kengo Kato, Daisuke Kurisu|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 01.

Statistical Methods and Inference참고 문헌 18인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 고주기 이산 관측 자료를 이용한 레비 밀도의 비모수적 스펙트럼 추정에 대해 부트스트랩 신뢰구간을 제안한다. 원점에서 떨어진 컴acts 집합에서 균일 신뢰구간을 위한 새로운 가우시안 승수 및 실증 부트스트랩 절차를 개발하였으며, 다양한 레비 과정(예: 온화한 안정분포 및 정규 역항법 분포 포함)에 대해 미약한 정규성 조건 하에서 渐近적 타당성을 입증하였다.

ABSTRACT

This paper develops bootstrap methods to construct uniform confidence bands for nonparametric spectral estimation of Lévy densities under high-frequency observations. We assume that we observe $n$ discrete observations at frequency $1/Δ> 0$, and work with the high-frequency setup where $Δ= Δ_{n} o 0$ and $nΔ o \infty$ as $n o \infty$. We employ a spectral (or Fourier-based) estimator of the Lévy density, and develop novel implementations of Gaussian multiplier (or wild) and empirical (or Efron's) bootstraps to construct confidence bands for the spectral estimator on a compact set that does not intersect the origin. We provide conditions under which the proposed confidence bands are asymptotically valid. Our confidence bands are shown to be asymptotically valid for a wide class of Lévy processes. We also develop a practical method for bandwidth selection, and conduct simulation studies to investigate the finite sample performance of the proposed confidence bands.

연구 동기 및 목표

• 고주기 이산 관측 자료로부터 레비 밀도의 비모수적 스펙트럼 추정기의 균일 신뢰구간을 구축하기 위해.
• 원점 근처에서 레비 측도가 특이성을 띠는 고주기 설정에서 레비 밀도에 대한 추론 문제를 다루기 위해.
• 원점이 포함되지 않은 컴acts 집합에서 스펙트럼 추정기의 부트스트랩 방법—특히 가우시안 승수 및 실증 부트스트랩—이 점근적으로 타당하도록 개발하기 위해.
• 유한 표본 성능을 평가하기 위해 실용적인 대역폭 선택 방법을 제공하고 시뮬레이션을 통해 평가하기 위해.
• 복합 포oisson, 변동 감마, 역가우시안, 온화한 안정분포 과정을 포함한 광범위한 레비 과정 클래스로 추론 도구를 확장하기 위해.

제안 방법

• 특성함수 역행렬을 이용한 스펙트럼(푸리에 기반) 추정기로 레비 밀도를 추정한다.
• 스펙트럼 추정기에 가우시안 승수 및 실증 부트스트랩 재표본을 적용하여 균일 신뢰구간을 구성한다.
• 레비 밀도에서 특이성이 발생할 수 있는 원점에서 분리된 컴acts 간격에서 부트스트랩 절차를 시행하여 문제를 피한다.
• 대역폭 $ h $를 활용한 커널 기반 스무딩 접근법을 사용하며, $ h \gtrsim \Delta^{1/2} $ 이고, $ h $와 $ n\Delta \to \infty $ 를 통해 편향과 분산을 제어한다.
• 고주기 점근적 설정 하에서 레비 밀도, 특성함수, 표본 설계에 대한 조건을 검증함으로써 점근적 타당성을 도출한다.
• 스토크ัส틱 오차의 부트스트랩 근사 제어를 위해 농도 불등식 및 실증 과정 이론(예: Chernozhukov 등, 2014a)을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고주기 표본 설정 하에서 스펙트럼 추정기의 레비 밀도에 대해 부트스트랩 방법을 사용하여 점근적으로 타당한 균일 신뢰구간을 구성할 수 있는가?
• RQ2 이 비모수적 스펙트럼 추정 프레임워크에서 가우시안 승수 및 실증 부트스트랩 절차의 점근적 타당성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 제안된 신뢰구간의 성능은 대역폭과 표본 주파수의 선택에 어떻게 의존하는가?
• RQ4 제안된 신뢰구간은 어떤 레비 과정의 클래스에 대해 점근적으로 타당한가?
• RQ5 편향과 분산을 유한 표본에서 균형 잡는 실용적인 대역폭 선택 방법을 개발할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 부트스트랩 신뢰구간은 복합 포oisson, 변동 감마, 역가우시안, 온화한 안정분포 과정(안정성 지수 ≤ 1 포함)을 포함한 광범위한 레비 과정 클래스에 대해 점근적으로 타당하다.
• 레비 밀도 및 대역폭에 적절한 조건 하에서 스펙트럼 추정기는 수렴 속도 $ \|\widehat{\rho} - \rho\|_{w,\infty} = O_{\mathrm{P}}(\chi_n + h^r + h^{-1}|\widehat{\sigma}^2 - \sigma^2|) $ 를 달성한다.
• 추가적인 정규성 및 대역폭 조건 하에서 주요 항인 $ \chi_n \lesssim (n\Delta h)^{-1/2}(\log n)^{1/2} $ 가 수렴 속도를 지배한다.
• 실증 부트스트랩과 가우시안 승수 부트스트랩 모두 동일한 정규성 조건 하에서 점근적으로 타당한 신뢰구간을 제공한다.
• 시뮬레이션 연구는 특히 데이터 기반 방법으로 대역폭를 선택할 경우 양호한 유한 표본 성능을 확인한다.
• 메트릭스 성분이 존재하더라도 이 방법은 강건하며, 무거운 尾 또는 유한한 점프 동역학을 가진 레비 과정에도 적용 가능하다.