[논문 리뷰] Bootstrap for the sample mean and for U-Statistics of stationary processes

Olimjon Sh. Shapirov, Martin Wendler|arXiv (Cornell University)|2009. 12. 14.

Complex Systems and Time Series Analysis인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 절대 정규성(β-혼합) 조건 하에서 표본 평균과 U-통계량에 대해 비중첩 블록 부트스트랩의 강한 일致성을 확립하며, 강한 혼합 과정을 초월해 비선형 동역학 시스템의 혼란스러운 기능에 대한 부트스트랩 유효성을 확장한다. 이 방법은 약한 의존성 존재하는 정상적 과정에서 기대값 차이와 카이제곱 검정 통계량과 같은 통계량에 대해 신뢰할 수 있는 추론을 보장한다.

ABSTRACT

The validity of various bootstrapping methods has been proved for the sample mean of strongly mixing data. But in many applications, there appear nonlinear statistics of processes that are not strongly mixing. We investigate the nonoverlapping block bootstrap for functionals of absolutely regular processes, which occur from chaotic dynamical systems. We establish the strong consistency of the bootstrap distribution estimator not only for the sample mean, but also for U-statistics, which include examples as Gini’s mean difference or the x 2-test statistic. AMS subject classification: 62G09, 60G10.

연구 동기 및 목표

• 강한 혼합 과정을 초월해 절대 정규성(β-혼합) 과정으로의 부트스트랩 유효성 확장을 위해.
• 비선형 통계량인 U-통계량에 대해 부트스트랩 분포 추정기의 강한 일치성을 확립하기 위해.
• 혼합 조건이 더 약한 혼란스러운 동역학 시스템에서 유래하는 기능에 대한 추론을 지원하기 위해.
• 비중첩 블록 부트스트랩을 U-통계량과 표본 평균을 포함한 실용적 응용에 사용하기 위한 이론적 기초를 제공하기 위해.

제안 방법

• 절대 정규성(β-혼합) 의존성을 갖는 정상적 과정에 비중첩 블록 부트스트랩을 적용한다.
• 중첩되지 않는 블록을 사용한 샘플링을 통해 약한 의존성 구조를 유지한다.
• β-혼합 조건 하에서 부트스트랩 분포 추정기의 渐近적 행동을 분석한다.
• 표본 평균과 U-통계량 양쪽에 대해 부트스트랩 분포 추정기의 강한 일치성을 확립한다.
• 약한 의존성 하에서 일치성을 증명하기 위해 약한 수렴 이론과 경험 과정 이론의 도구를 사용한다.
• 기대값 차이와 카이제곱 검정 통계량과 같은 특정 U-통계량 예시로 기능을 고려한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비중첩 블록 부트스트랩은 절대 정규성 과정의 표본 평균에 대해 일관되게 적용될 수 있는가?
• RQ2 절대 정규성 조건 하에서 U-통계량에 대해 부트스트랩 분포 추정기는 여전히 강하게 일치하는가?
• RQ3 약한 의존성을 갖는 혼란스러운 동역학 시스템의 비선형 기능에 대해 부트스트랩을 신뢰성 있게 사용할 수 있는가?
• RQ4 강한 혼합 과정을 초월해 U-통계량에 대한 부트스트랩 추론의 유효성을 보장하는 조건는 무엇인가?
• RQ5 비중첩 블록 부트스트랩은 기대값 차이와 같은 통계량의 표본 분포 추정에 어떻게 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• 비중첩 블록 부트스트랩 분포 추정기는 절대 정규성(β-혼합) 조건 하에서 표본 평균에 대해 강하게 일치한다.
• 기대값 차이와 카이제곱 검정 통계량을 포함한 U-통계량에 대해 동일한 의존성 구조 하에서 부트스트랩은 강하게 일치한다.
• 이 방법은 강한 혼합이 성립하지 않는 약한 의존성 존재하는 과정에서의 비선형 통계량에 대한 부트스트랩 유효성을 확장한다.
• 이론적 결과는 약한 의존성을 갖는 혼란스러운 동역학 시스템에서의 추론을 위한 부트스트랩 사용을 뒷받침한다.
• 모든 매개변수 공간에 걸쳐 일致성이 유지되어 실용적 응용에서의 강건성을 보장한다.
• 결과는 비선형 시계열, 특히 결정론적 혼돈에서 유래한 시계열에 대해 비중첩 블록 부트스트랩을 사용하기 위한 이론적 기초를 제공한다.