[논문 리뷰] Bootstrap with Clustering in Two or More Dimensions

Konrad Menzel|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 08.

Bayesian Methods and Mixture Models참고 문헌 13인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 다중 군집 구조 간에 종속성을 보이는 데이터에서 이원 또는 다차원 군집 설정에서의 추론을 위한 새로운 부트스트랩 절차를 제안한다. 당진 통계량에 대해 점별 일致성과 渐近 정밀도를 확립하여 이원 군집에서 발생하는 비표준 점점적 분포를 해결하며, U-통계량, 네트워크 데이터, 비완전 매칭 샘플에의 응용을 수반한다.

ABSTRACT

We propose a bootstrap procedure for data that may exhibit clustering in two or more dimensions. We use insights from the theory of generalized U-statistics to analyze the large-sample properties of statistics that are sample averages from the observations pooled across clusters. The asymptotic distribution of these statistics may be non-standard if there is no clustering in means. We show that the proposed bootstrap procedure is (a) point-wise consistent for any fixed data-generating process (DGP), (b) uniformly consistent if we exclude the case of clustering without clustering in means, and (c) provides refinements for any DGP such that the limiting distribution is Gaussian.

연구 동기 및 목표

• 이원 또는 다차원 군집 설정에서 표준 점점적 분포가 군집 내 종속성으로 인해 비표준이 되는 상황에서의 추론 문제를 다루는 것.
• 기본 데이터 생성 과정에 대한 지식이 필요 없이 데이터의 종속성 구조에 적응하는 부트스트랩 절차를 개발하는 것.
• 비퇴화된 분산 성분이 존재하는 경우에도 부트스트랩이 균일 일치성 또는 점별 일치성을 달성할 조건을 설정하는 것.
• 표본 평균을 초월한 일반 통계량, 특히 점점적으로 선형 및 V-통계량 추정량에 대한 방법을 확장하는 것.
• 비완전 매칭 샘플 및 네트워크 데이터에 대한 절차를 적응시키며, 여기서는 일부 이원 쌍 또는 네트워크 쌍만 관측됨을 고려하는 것.

제안 방법

• 이 방법은 다중 군집 차원 간의 공동 종속성 구조를 유지하면서 잔차를 재표본 추출하는 와일드 부트스트랩을 사용한다.
• 표본 평균을 행 방향, 열 방향, 교차 군집 종속성 성분으로 분해하며, 수직 부분공간에 대한 투영을 사용한다.
• 관측된 군집 구조 조건 하에, 영향 함수를 i.i.d. 라데마처 또는 대칭 랜덤 변수로 재표본 추출한다.
• 다중 방향 종속성 하에서 검정 통계량의 점점적 분포를 기술하기 위해 일반화된 U-통계량과 위erner 카오스 전개 결과를 활용한다.
• U-통계량의 퇴화 및 비퇴화 핵심을 다루기 위해 절차를 적응시키며, 관측된 이원 쌍에 적절한 가중치를 적용함으로써 비완전 표본을 처리한다.
• 네트워크 데이터의 경우, 인접행렬 원소를 다이adic 결과로 간주하고 다중 방향 종속성이 있는 상황에서 부분그래프 밀도에 적용할 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이원 군집에서 한계 분포가 비표준한 경우에도 표본 평균의 표본 분포를 일致적으로 추정할 수 있는 부트스트랩 절차를 구성할 수 있는가?
• RQ2 이원 군집 하에서 모든 데이터 생성 과정에 대해 균일 일치성을 달성하는 부트스트랩 방법이 존재하는가, 아니면 근본적인 제약이 존재하는가?
• RQ3 핵심이 퇴화된 경우를 포함하여 다차원 군집 하에서 V-통계량과 U-통계량에 대해 부트스트랩을 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ4 오직 일부 이원 쌍만 관측되는 비완전 매칭 샘플로 확장할 수 있는가?
• RQ5 다차원 군집 설정에서 당진 통계량에 대해 부트스트랩이 가우시안 근사보다 점점적 정밀도를 제공하는가?

주요 결과

• 서로 상관이 없지만 종속성이 존재할 수 있기 때문에, 이원 군집 하에서 표본 평균의 한계 분포에 대한 균일 일치 추정자는 존재하지 않는다.
• 제안된 부트스트랩은 임의의 고정된 데이터 생성 과정에 대해 점별 일치성을 보이며, 알려지지 않은 종속성 구조에 적응 가능하다.
• 서로 상관이 없는 종속성이 제외된 경우, 다른 부트스트랩이 균일 일치성을 달성하여 보수적인 추론이 가능하다.
• 당진 통계량의 경우, 한계 분포가 정규분포일 때 부트스트랩은 가우시안 근사보다 점점적 정밀도를 제공한다.
• U-통계량 이론과 영향 함수 전개를 활용함으로써, 부트스트랩 절차는 V-통계량과 U-통계량, 비퇴화 핵심까지 확장된다.
• 적절한 가중치와 재표본 추출 기법을 적용함으로써, 네트워크 데이터(예: 부분그래프 밀도) 및 비완전 매칭 샘플에 대해서도 유효하다.