[논문 리뷰] Bootstrapping Empirical Processes of Cluster Functionals with Application to Extremograms

Holger Drees|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 02.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 11인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 종속적인 극단가치 시계열에서 군집 기능수의 경험적 과정에 대해 다중수 블록 부트스트랩 방법을 제안하며, 극단 다이어그램에 대한 타당한 추론을 가능하게 한다. Drees와 Rootzén(2010)과 유사한 조건 하에서 부트스트랩은 동일한 극한 분포로 약한 수렴하며, 기존 방법에 비해 유한 표본 성능을 향상시켜 극단 다이어그램 파라미터에 대한 신뢰 영역을 신뢰성 있게 구축할 수 있다.

ABSTRACT

In the extreme value analysis of time series, not only the tail behavior is of interest, but also the serial dependence plays a crucial role. Drees and Rootzén (2010) established limit theorems for a general class of empirical processes of so-called cluster functionals which can be used to analyse various aspects of the extreme value behavior of mixing time series. However, usually the limit distribution is too complex to enable a direct construction of confidence regions. Therefore, we suggest a multiplier block bootstrap analog to the empirical processes of cluster functionals. It is shown that under virtually the same conditions as used by Drees and Rootzén (2010), conditionally on the data, the bootstrap processes converge to the same limit distribution. These general results are applied to construct confidence regions for the empirical extremogram introduced by Davis and Mikosch (2009). In a simulation study, the confidence intervals constructed by our multiplier block bootstrap approach compare favorably to the stationary bootstrap proposed by Davis et al.\ (2012).

연구 동기 및 목표

• 경험적 과정의 점근적 분포가 직접 추론에 적합하지 않을 경우 극단 다이어그램에 대한 신뢰 영역을 구축하는 데 도전하는 것.
• Drees와 Rootzén(2010)의 이론 프레임워크를 확장하기 위해 군집 기능수 경험 과정의 약한 수렴 성질을 유지하는 부트스트랩 방법을 개발하는 것.
• 극한에서의 순차적 의존성이 있는 시계열에서 극단 다이어그램에 대한 기존 부트스트랩 방법의 실용적이고 계산 가능성이 높은 대안을 제공하는 것.
• 정적 부트스트랩에 비해 극단 다이어그램 파라미터의 유한 표본 성능을 향상시키는 것.

제안 방법

• 경험적 과정의 군집 기능수에 대해 i.i.d. 데이터와 독립적인 부트스트랩 가중치를 사용하는 다중수 블록 부트스트랩을 제안한다.
• 데이터 조건부로 부트스트랩 과정은 $ Z_n^*(f) = \frac{1}{\sqrt{n v_n}} \sum_{j=1}^{m_n} \xi_j (f(Y_{n,j}) - \mathbb{E}[f(Y_{n,j})]) $ 로 정의되며, $ \xi_j $ 는 i.i.d. 표준 정규 또는 라데마처 변수이다.
• 조건 (B1), (B2), (C1)–(C3), (D1)–(D4), 및 (D6) 또는 (D6’) 하에서 부트스트랩 과정이 원래 경험적 과정과 동일한 가우시안 극한 분포로 약한 수렴함을 입증한다.
• 이차 극단 의존성에 적합한 특정 군집 기능수 가족을 사용하여 경험 극단 다이어그램(시계열의 순차 극단 의존성의 비모수 추정자)에 부트스트랩을 적용한다.
• 기능적 색인 집합 $ \mathcal{F} $ 의 복잡성을 제어하기 위해 괄호화 엔트로피와 메트릭 엔트로피 조건 (D4)–(D6) 를 사용하며, 이는 점근적 안정성과 등연속성을 보장한다.
• Drees와 Rootzén(2010)의 원래 약한 수렴 결과와 동일한 조건 하에서 부트스트랩이 점근적으로 타당함을 입증하여 이론적 신뢰성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최소한의 가정 하에서 원래 과정과 동일한 극한 분포로 약한 수렴하는 군집 기능수 경험 과정에 대해 다중수 블록 부트스트랩을 구성할 수 있는가?
• RQ2 제안된 부트스트랩 방법은 극한의 군집이 있는 시계열에서 극단 다이어그램에 대해 타당한 신뢰 영역을 제공하는가?
• RQ3 극한 다이어그램 추정에서 제안된 부트스트랩의 성능은 정적 부트스트랩에 비해 유한 표본에서 어떻게 비교되는가?
• RQ4 부트스트랩 과정이 군집 기능수 경험 과정의 점근적 분포 성질을 유지하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 극한 의존성 구조의 파라미터 모델링 없이도 부트스트랩을 극단 다이어그램에 적용할 수 있는가?

주요 결과

• 조건 (B1), (B2), (C1)–(C3), (D1)–(D4), 및 (D6) 또는 (D6’) 하에서 군집 기능수 경험 과정에 대한 다중수 블록 부트스트랩은 데이터 조건부로 원래 과정과 동일한 가우시안 극한 분포로 약한 수렴한다.
• 부트스트랩 방법은 경험 극단 다이어그램에 대한 신뢰 영역을 구축하는 데 점근적으로 타당하며, 파라미터 추론에 대한 비모수적 대안을 제공한다.
• 시뮬레이션 연구에서 제안된 부트스트랩은 정적 부트스트랩에 비해 더 정확하고 덜 낮은 커버리지 성질을 보이는 극단 다이어그램에 대한 신뢰 구간을 생성한다.
• 이 방법은 표준 정규화 조건과 혼합 조건만 요구하므로 극한의 군집이 있는 시계열에 널리 적용 가능하다.
• 엔트로피 경계 조건 (D4)–(D6) 와 같은 이론적 조건들은 기능 색인 집합의 복잡성이 약한 수렴을 방해하지 않음을 보장한다.
• 모든 $ x \in E_\cup $ 에 대해 $ F(x) = \sup_{f \in \mathcal{F}} |f(x)| $ 가 유한하므로 균일 적분 가능성과 부트스트랩의 안정성이 보장된다.