[논문 리뷰] Bootstrapping Non-Invertible Symmetries

Ying‐Hsuan Lin, Shu-Heng Shao|arXiv (Cornell University)|2023. 02. 27.

Algebraic structures and combinatorial models인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한한 비가역 대칭을 지닌 1+1차원 보존장이론(CFT)을 수치적 모듈러 브로드캐스트를 통해 제약하는 데 초점을 맞추며, 피보나치, 아이징, 및 $ς(2)_{2}$와 같은 분할 카테고리들을 구체적 예시로 사용한다. 2+1차원 투라에프-비로 TQFT $Η(χ)$와 CFT를 '슬랩 구조'로 결합함으로써, 대칭 보존 및 대칭 위반 영역에서 연산자 차원에 대한 엄밀하고 보편적인 경계를 도출한다. 이 경계는 자명한 anyon 영역과 비자명한 anyon 영역의 합집합에서 존재하며, 모듈러 S 및 T 행렬의 고유벡터와 관련된 특정 예외를 제외하고는 성립한다.

ABSTRACT

Using the numerical modular bootstrap, we constrain the space of 1+1d CFTs with a finite non-invertible global symmetry described by a fusion category $\mathcal{C}$. We derive universal and rigorous upper bounds on the lightest $\mathcal{C}$-preserving scalar local operator for fusion categories such as the Ising and Fibonacci categories. These numerical bounds constrain the possible robust gapless phases protected by a non-invertible global symmetry, which commonly arise from microscopic lattice models such as the anyonic chains. We also derive bounds on the lightest $\mathcal{C}$-violating local operator. Our bootstrap equations naturally arise from a "slab construction", where the CFT is coupled to the 2+1d Turaev-Viro TQFT, also known as the Symmetry TFT.

연구 동기 및 목표

• 비가역 대칭을 지닌 1+1차원 CFT의 보편적 성질을 이해하는 것.
• 군을 이루지 않는 비가역 전역 대칭에 대해 모듈러 브로드캐스트 프레임워크를 확장하는 것.
• 대칭 보존 및 대칭 위반 영역에서 연산자 차원에 대한 엄밀하고 모델에 종속되지 않는 경계를 도출하는 것.
• 모듈러 S 및 T 행렬의 구조에 기반해 브로드캐스트 경계가 존재하거나 존재하지 않는 조건을 명확히 하는 것.
• 기존의 군 유형 대칭을 초월해 양자장이론에서 자연스러움과 안정성의 개념을 일반화하는 것.

제안 방법

• 저자들은 비가역 대칭과 관련된 위상적 선 운동자들을 비틀린 분할 함수를 통해 포함시킨 1+1차원 CFT에서 모듈러 브로드캐스트를 사용한다.
• CFT를 2+1차원 투라에프-비로 TQFT $Η(χ)$와 '슬랩 구조'로 결합하며, 여기서 $χ$는 비가역 대칭을 기술하는 분할 카테고리이다.
• 분할 함수의 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$에 대한 모듈러 공변성을 강제함으로써, 모듈러 S 및 T 행렬을 통한 스펙트럼에 대한 제약 조건을 유도한다.
• 브로드캐스트 경계의 존재 여부는 S 및 T 행렬의 동시에 고유값 1을 가지는 고유공간을 분석함으로써 결정된다.
• 각 분할 카테고리(피보나치, 아이징, $ς(2)_{2}$)에 대해 드린펠트 중심을 계산하고, 비자명한 비음수 고유벡터가 고유값 1을 가지는지 여부를 기반으로 어떤 anyon 영역에서 경계가 존재하거나 금지되는지 확인한다.
• 대칭 보존 영역($\mathcal{V}_{\mathbf{1}}$)과 대칭 위반 영역($\mathcal{V}_{\mu}$, $\mu \neq \mathbf{1}$)을 구분하고, 갭 경계 존재 조건을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비가역 대칭을 지닌 1+1차원 CFT의 힐베르트 공간에서 갭에 대한 모듈러 브로드캐스트 경계가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 특히 고유값 1을 동시에 가지는 S 및 T 행렬의 동시 고유공간이 브로드캐스트 경계의 존재에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ3 2+1차원 TQFT와의 슬랩 구조 결합을 통해 비가역 대칭 영역에서 연산자 차원에 대한 제약을 체계적으로 도출할 수 있는가?
• RQ4 왜 일부 anyon 영역(예: 피보나치에서 $(W,\bar{W})$, 아이징에서 $(\eta,\bar{\eta})$)은 경계를 허용하는 반면 다른 영역는 그렇지 않은가? 고유벡터의 구조는 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 다양한 비가역 분할 카테고리에 걸쳐 경계 존재의 보편적 패턴은 무엇이며, 이는 anyon의 양자 차원과 이상성과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 모든 유니터리 모듈러 카테고리(UMTC)에 대해, 자명한 anyon 영역 $\mathcal{V}_{\mathbf{1}}$에서는 항상 모듈러 브로드캐스트 경계가 존재한다. 이는 고유값 1을 가지는 비자명한 비음수 고유벡터의 첫 번째 성분이 0이 될 수 없기 때문이다.
• 모든 비자명한 anyon 영역의 합집합 $\bigcup_{\mu \neq \mathbf{1}} \mathcal{V}_{\mu}$에서도 경계가 존재할 것으로 예상된다. 왜냐하면 벡터 $(1,0,\dots,0)$이 고유값 1을 가지는 고유벡터가 될 수 없기 때문이다. 이는 S-행렬이 자명하지 않을 경우에 해당한다.
• 피보나치 카테고리의 경우, $(W,\bar{W})$ 영역에서 경계가 존재한다. S 및 T 행렬의 고유값 1을 가지는 동시 고유공간이 $(1,0,0,1)$로 생성되며, 이는 W-영역에서 0이 아니기 때문이다.
• 아이징 및 $\mathfrak{su}(2)_{2}$ 카테고리의 경우, $(\eta,\bar{\eta})$ 또는 $({\mathcal{N}},\bar{\mathcal{N}})$ 영역에서 경계가 존재할 것으로 예상된다. 이는 고유값 1을 가지는 고유공간이 $(1,0,0,0,1,0,0,0,1)$로 생성되며, 이는 해당 영역에서 비영 성분을 포함하기 때문이다.
• 이상성 있는 $\mathbb{Z}_2$의 경우(이중 세미온 모델), 비틀린 영역 $\mathcal{H}_{\eta}$에 경계가 존재하지 않는다. 이는 $\mathcal{V}_{(\eta,1)} \cup \mathcal{V}_{(1,\bar{\eta})}$에 해당하며, 비자명한 고유값 1을 가지는 고유벡터가 존재하기 때문이다.
• 경계가 존재하지 않는 것은, 관련 영역에서 성분이 0이면서 고유값 1을 가지는 비자명한 고유벡터가 존재하기 때문이며, 이는 대칭의 위상장이론적 실현에서 잠재적인 장애를 시사한다.