[논문 리뷰] Bootstrapping Two-phase Sampling

Takumi Saegusa|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 21.

Statistical Methods and Inference참고 문헌 30인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비모수적 부트스트랩 절차를 제안하며, 두 단계의 비복원 추출을 시행하는 계층적 표본 추출에서, 점점 더 복잡해지는 모수적 모형에서 점근적 분산이 닫힌 형태가 없는 경우에 대해 분산 추정 문제를 해결한다. 단계별 및 계층별 부트스트랩 가중치를 조합함으로써, 역확률가중치 부여된 경험과정의 조건부 약한 수렴을 확립하여, 복잡한 표본 설계에서 가중치 부여된 최대우도 추정량 및 M/Z-추정량에 대해 타당한 추론을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We propose a nonparametric bootstrap procedure for two-phase stratified sampling without replacement. In this design, a weighted likelihood estimator is known to have smaller asymptotic variance than under the convenient assumption of independence often made in practice. Variance estimation, however, has not been well studied for semiparametric models where variance may not have a closed form. Motivated by semiparametric inference, we establish conditional weak convergence of bootstrap inverse probability weighted empirical processes with several variants of calibration. Two main obstacles to applying existing bootstrap empirical process theory are the dependent and biased sample due to sampling design, and the complex limiting processes of the linear combinations of Brownian bridge processes. To address these issues, the proposed bootstrap weights take the form of the product of two weights corresponding to randomness from each phase and stratum. We apply our bootstrap to weighted likelihood estimation and establish two Z-theorems for a general semiparametric model where a nuisance parameter can be estimated either at a regular or a non-regular rate. We show different bootstrap calibration methods proposed in the survey sampling literature yield different bootstrap asymptotic distributions.

연구 동기 및 목표

• 복원되지 않는 두 단계의 계층적 표본 추출에서 가중치 부여된 최대우도 추정량에 대한 신뢰할 수 있는 분산 추정 방법의 부족을 해결한다.
• 의존적이고 편향된 표본 및 브라운 운동 다리 과정의 선형 조합을 포함하는 복잡한 점근적 분포에 기인한 도전 과제를 극복한다.
• 비 i.i.d. 관측치와 비교환 가능한 부트스트랩 가중치를 포함하는 표본 설계에 대해 경험과정 이론을 부트스트랩 이론으로 확장한다.
• 일반적인 비모수적 모형, 특히 M- 및 Z-추정량에 적용 가능한 이론적으로 타당한 부트스트랩 절차를 제공한다.
• 설문 조사에서 다양한 校정 방법이 부트스트랩 점근적 분포를 어떻게 형성하는지 보여주며, 방법론적 민감도를 향상시킨다.

제안 방법

• 단계 I에 대한 i.i.d. 가중치와 단계 II에 대한 계층적 표본 추출 가중치의 곱으로 구성된 부트스트랩 가중치 구조를 제안하여, 두 단계의 표본 추출에서 발생하는 랜덤성과 계층의 영향을 모두 반영한다.
• 의존성과 비교환성을 다루기 위해 부트스트랩 IPW 경험과정을 단계 I 및 단계 II 성분으로 분해한다.
• 단계 I 가중치를 조건으로 하여 단계 II 과정의 약한 수렴을 증명함으로써, 부트스트랩 IPW 경험과정의 조건부 약한 수렴을 확립한다.
• 다양한 부트스트랩 가중치의 수렴을 보장하기 위해, 다중수렴 부등식과 대칭화 기법을 사용하며, 경험과정 이론의 결과(예: van der Vaart와 Wellner의 Lemma 2.9.1)를 활용한다.
• 비복원 추출을 다루기 위해 교환 가능한 가중치 부트스트랩 프레임워크를 적용하며, [30] 및 [37]의 도구를 복잡한 설문 조사 설계에 적응시킨다.
• 단계 I 및 단계 II의 표본 추출 랜덤성에 대해 순차적으로 다루는 하향식 증명 전략을 도입하여, 최소한의 모멘트 조건 하에서도 수렴을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점근적 분산이 닫힌 형태가 없는 경우에, 두 단계의 계층적 표본 추출에서 비복원 추출을 시행하는 부트스트랩 절차를 개발할 수 있는가?
• RQ2 비복원 추출에 기인한 의존적이고 비 i.i.d. 표본을 다룰 수 있도록 부트스트랩 이론을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ3 설문 조사에서 다양한 校정 방법이 부트스트랩 추정량의 점근적 분포에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 제안된 부트스트랩 방법은 복잡한 표본 설계 하에서 일반적인 비모수적 모형, 특히 M- 및 Z-추정량에 대해 타당한 추론을 제공하는가?
• RQ5 비교환 가능한 부트스트랩 가중치와 복잡한 점근적 과정이 존재하는 상황에서도 부트스트랩 IPW 경험과정의 조건부 약한 수렴을 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 부트스트랩 절차는 두 단계의 계층적 표본 추출에서 비복원 추출을 시행할 경우, 역확률가중치 경험과정의 조건부 약한 수렴을 성공적으로 확립한다.
• 단계 I 및 단계 II의 계층별 가중치의 곱으로 구성된 부트스트랩 가중치는 이중적인 랜덤성의 원천을 반영하며, 정확한 분산 추정을 가능하게 한다.
• 설문 조사에서 다양한 校정 방법은 부트스트랩의 점근적 분포를 다르게 만들며, 이는 校정 방법 선택에 대한 방법론적 민감도를 보여준다.
• 이 방법은 가중치 부여된 최대우도 추정을 초월하여 정규 또는 비정규 수렴 속도를 갖는 추정량을 포함한 일반적인 비모수적 모형에 적용 가능하다.
• 이론적 결과는 부트스트랩 추정량이 올바른 점근적 분포를 갖는다는 것을 보여주며, 비복원 추출에서 표준 비모수적 부트스트랩이 보여주는 과대 추정 문제를 피한다.
• 비 i.i.d. 자료와 비교환 가능한 가중치에 기인한 주요 장애물을 극복하기 위해 분해 및 순차적 수렴 전략을 사용하는 증명 전략은 최소한의 정규성 조건 하에서도 방법의 타당성을 입증한다.