[논문 리뷰] Borcherds products and arithmetic intersection theory on Hilbert modular surfaces

Jan Hendrik Bruinier, José Ignacio Burgos Gil외 1명|ArXiv.org|2003. 10. 14.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 27인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 히르체브루흐-자지에르 정리의 산술적 유사체를 히르체브루흐-자지에르 나눔형의 산술적 유사체를 구성하고, 그 생성 함수가 확장된 산술 쇼우 링 안에서 정칙 모듈라 형식이 됨을 보여줌으로써 히르체브루흐 모듈라 표면에 대해 증명한다. 주요 결과는 관련 실이차수체의 리만 제타함수의 로그 도함수를 s = -1에서 계산한 값과 모듈라 형식의 선다발의 산술 자기교차수를 연결하며, 이는 특수값을 가지는 제타함수와 에이젠스타인 급수와 연관된다.

ABSTRACT

We prove an arithmetic version of a theorem of Hirzebruch and Zagier saying that Hirzebruch-Zagier divisors on a Hilbert modular surface are the coefficients of an elliptic modular form of weight two. Moreover, we determine the arithmetic self-intersection number of the line bundle of modular forms equipped with its Petersson metric on a regular model of a Hilbert modular surface, and study Faltings heights of arithmetic Hirzebruch-Zagier divisors.

연구 동기 및 목표

• 히르체브루흐-자지에르 정리의 고전적 결과를 히르체브루흐 모듈라 표면에서 산술적 맥락으로 확장한다.
• 정칙 모델을 갖는 히르체브루흐 모듈라 표면에서 페터슨 메트릭을 갖춘 모듈라 형식의 선다발의 산술 자기교차수를 계산한다.
• 경계와 무관한 산술 히르체브루흐-자지에르 나눔형의 팔링스 높이를 결정한다.
• 산술 교차수를 리만 제타함수와 에이젠스타인 급수의 특수값과 연결한다.
• 사전-로그-로그 형식과 확장된 산술 쇼우 링을 사용하여 비콤팩트 시무라 다양체 위에서 산술 교차론의 프레임워크를 수립한다.

제안 방법

• 저자들은 경계 나눔형 위에서 자동형 선다발의 특이 메트릭을 다루기 위해 사전-로그-로그 형식을 갖춘 확장된 산술 쇼우 링을 사용한다.
• 기하학적 및 해석적 자료를 통합하여, 이 확장된 산술 쇼우 군 내에서 산술 히르체브루흐-자지에르 나눔형을 클래스로 정의한다.
• 이 산술 나눔형의 생성 함수가 히르체브루흐와 자지에르의 코homological 결과와 유사하게 정칙 모듈라 형식이 됨을 보여준다. 이는 무게 2, 수준 N, 실이차수체 K와 관련된 특성이다.
• 모듈라 형식 선다발의 산술 자기교차수는 리만 제타함수 ζ_K(s)의 s = -1에서의 로그 도함수의 표현으로 계산된다.
• 그린 함수의 스타곱과 적분 기법을 사용하여 생성 함수의 곱과 모듈라 선다발의 첫 번째 산술 체르니클 클래스의 제곱을 다중의 에이젠스타인 급수 E(τ)의 배수로 연결한다.
• 높이 쌍화는 사영 공식과 특정 산술 쇼우 수열의 정확성에 의해 계산되며, 팔링스 높이에 대한 명시적 공식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 히르체브루흐-자지에르 생성 함수의 산술적 유사체는 히르체브루흐 모듈라 표면의 코homology 클래스에 대해 무엇인가?
• RQ2 경계에서 특이 메트릭이 존재할 경우, 모듈라 형식 선다발의 산술 자기교차수는 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ3 경계 나눔형과 무관한 산술 히르체브루흐-자지에르 나눔형의 팔링스 높이는 무엇인가?
• RQ4 산술 교차수는 리만 제타함수와 에이젠스타인 급수의 특수값과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 사전-로그-로그 형식을 갖춘 확장된 산술 쇼우 링은 비콤팩트 히르체브루흐 모듈라 표면에서 교차론에 대해 일관된 프레임워크를 제공할 수 있는가?

주요 결과

• 확장된 산술 쇼우 군 내에서 산술 히르체브루흐-자지에르 나눔형의 생성 함수는 무게 2, 수준 N, 실이차수체 K와 관련된 특성의 정칙 모듈라 형식이다.
• 페터슨 메트릭을 갖춘 모듈라 형식 선다발의 산술 자기교차수는 k²/2 곱하기 리만 제타함수 ζ_K(s)의 s = -1에서의 로그 도함수와, 제타함수와 L-함수의 조합에 의해 곱해진 표현과 같다.
• 산술 생성 함수와 모듈라 선다벨의 첫 번째 산술 체르니클 클래스의 제곱의 곱은 에이젠스타인 급수 E(τ)의 배수이며, 비례 계수는 산술 자기교차수이다.
• 경계와 무관한 비등방성 히르체브루흐-자지에르 나눔형의 경우, 팔링스 높이는 나눔형의 체적과 제타함수 ζ(s)의 로그 도함수, 그리고 왜곡된 L-함수 σ_m(s)의 s = -1에서의 값이 포함된 공식으로 주어진다.
• 이 결과들은 크라머, 쿠다, 마일로-로에슬러의 깊이 있는 추측들에 대한 산술적 증거를 제공하며, 산술 체적과 L-함수의 특수값을 연결한다.
• 이 프레임워크는 스택의 히르체브루흐 모듈라 표면의 추측적 산술 쇼우 링과 일관되며, 산술 차수와 높이 쌍화가 유한 수준 모델에서와 일치한다.