[논문 리뷰] Borel sets which are null or non-$\sigma$-finite for every translation invariant measure

Márton Elekes, Tamás Keleti|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 24.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 3인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 리우빌 수의 집합이 임의의 ℝ 위의 이동 불변 보렐 측도에서 측도가 없거나 σ-유한이 아님을 증명한다—즉, 다임스의 질문에 답한다. 조밀한 Gδ 집합의 구조적 성질과 푸비니 정리, 내부가 비어 있는 컴팩트 집합의 차집합을 포함한 측도 이론적 추론을 통해, 저자들은 이 결과를 비정규 수, 특정 베식코비치-에글스턴 집합, 그리고 Fσ가 아닌 보렐 부분군과 같은 다른 잘 알려진 집합으로 확장한다.

ABSTRACT

We show that the set of Liouville numbers is either null or non-$\sigma$-finite with respect to every translation invariant Borel measure on $\RR$, in particular, with respect to every Hausdorff measure $\iH^g$ with gauge function $g$. This answers a question of D. Mauldin. We also show that some other simply defined Borel sets like non-normal or some Besicovitch-Eggleston numbers, as well as all Borel subgroups of $\RR$ that are not $F_\sigma$ possess the above property. We prove that, apart from some trivial cases, the Borel class, Hausdorff or packing dimension of a Borel set with no such measure on it can be arbitrary.

연구 동기 및 목표

• D. 말딘의 열린 질문에 답한다: 리우빌 수의 집합이 ℝ 위에서 양의 σ-유한 이동 불변 보렐 측도를 가질 수 있는가?
• 모든 이동 불변 보렐 측도 하에서 영이거나 σ-유한이 아닌 보렐 집합—즉, '측도가 없는' 집합으로 정의된 집합을 특성화한다.
• 비정규 수와 특정 베식코비치-에글스턴 클래스를 포함한 자연스럽게 정의된 여러 보렐 집합이 측도가 없음을 보여준다.
• 측도가 없는 집합이 비자명한 경우를 초월해 임의의 보렐 계급과 임의의 하우스도르프 또는 패킹 차원을 가질 수 있음을 보여준다.
• Fσ가 아닌 ℝ의 보렐 덧셈 부분군은 반드시 측도가 없음을 증명하여, 측도가 없는 성질에 대한 일반적인 구조적 기준을 제시한다.

제안 방법

• 레베그 측도가 0이면서 이동 불변 집합이 조밀한 비어 있지 않은 Gδ 집합은 측도 이론적 보조정리들을 사용하여 측도가 없음을 증명한다.
• 집합 {(x, y) : x + y ∈ B} 에 푸비니 정리를 적용하여, µ(B) > 0 이고 σ-유한일 경우 λ-거의 모든 t 에 대해 µ(B ∩ (B + t)) = 0 임을 보인다.
• 내부 정규성과 보렐 집합의 구조를 이용하여 µ(C) > 0 이고 int(C − C) ≠ ∅ 인 컴팩트 부분집합 C ⊂ B 를 구성한다.
• C − C 가 비어 있지 않은 내부를 가지므로, B 내부에 비가산 개의 서로소 이동 복사체를 생성할 수 있으며, 이는 µ(B) = ∞ 를 의미한다.
• 일반 결과를 리우빌 수의 집합에 적용한다. 이는 레베그 측도가 0이면서 유리수 이동에 관해 불변인 조밀한 Gδ 집합이기 때문이다.
• 기타 집합으로의 결과 확장을 구조적 추론을 통해 수행한다: 비정규 수와 베식코비치-에글스턴 집합의 여집합은 동일한 불변성과 측도 0 조건을 만족함을 보인다.
• 군론적 및 차원 이론적 도구를 사용하여, Fσ가 아닌 ℝ의 보렐 덧셈 부분군은 반드시 측도가 없음을 증명한다.
• 선형 독립 집합의 직접 합과 리프시츠 사상에 의한 차원 경계를 이용하여, 임의의 하우스도르프 또는 패킹 차원을 가진 비가산적인 측도가 없는 집합의 가족을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리우빌 수의 집합은 ℝ 위에서 양의 σ-유한 이동 불변 보렐 측도를 가질 수 있는가?
• RQ2 Gδ 집합처럼 규칙적인 구조를 가진 보렐 집합이, 이동 불변 보렐 측도에서 영이거나 σ-유한이 아니게 될 수 있는가?
• RQ3 임의의 보렐 계급 또는 하우스도르프 차원을 가진 보렐 집합이 측도가 없을 수 있는가?
• RQ4 Fσ가 아닌 ℝ의 보렐 부분군은 반드시 측도가 없는가?
• RQ5 어떤 보렐 집합에서 양의 σ-유한 이동 불변 보렐 측도가 존재하면, 동일한 성질을 가진 적절한 하우스도르프 또는 패킹 측도가 존재할 수 있는가?

주요 결과

• 리우빌 수의 집합은 측도가 없다: 모든 ℝ 위의 이동 불변 보렐 측도 하에서 영이거나 σ-유한이 아님.
• [0,1] 내 비정규 수의 집합은 측도가 없다. 이는 레베그 측도가 0이고 유리수 이동에 관해 불변인 조밀한 Gδ 집합이기 때문이다.
• BE(1,0)의 여집합은 유사한 구조적 및 측도 이론적 성질 때문에 측도가 없다.
• Fσ가 아닌 ℝ의 보렐 덧셈 부분군은 모두 측도가 없다. 이는 측도가 없는 집합의 일반적인 클래스를 제공한다.
• 임의의 보렐 계급(열린 집합 제외)과 임의의 하우스도르프 또는 패킹 차원을 가진 측도가 없는 보렐 집합이 존재한다.
• 모든 α ∈ (0,1) 에 대해, 하우스도르프 차원이 α인 ℝ의 보렐 부분군 G′α 가 존재하며, 이는 가산 합을 통해 α = 1 으로도 확장 가능하다.