[논문 리뷰] Born's Rule Is Insufficient in a Large Universe

Don N. Page|arXiv (Cornell University)|2010. 03. 11.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 7인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 보른의 법칙—기본적으로 양자 확률을 사영 연산자의 기대값으로 유도하는 데 사용되는 법칙—이 다수의 동일한 관측자가 존재하는 큰 우주에서는 실패한다고 주장한다. 그 이유는 관측자가 자신의 위치를 유일하게 식별할 수 없기 때문이다. 핵심 기여는 상태에 독립적인 사영 연산자가 존재하지 않아 국소적 결과의 가중 평균으로서 확률을 도출할 수 없음을 증명한 것이다. 이는 보른의 법칙을 대체할 수 있는 볼륨 가중, 볼륨 평균, 관측 평균과 같은 다른 규칙이 필요하다는 것을 시사한다.

ABSTRACT

Probabilities in quantum theory are traditionally given by Born's rule as the expectation values of projection operators. Here it is shown that Born's rule is insufficient in universes so large that they contain identical multiple copies of observers, because one does not have definite projection operators to apply. Possible replacements for Born's rule include using the expectation value of various operators that are not projection operators, or using various options for the average density matrix of a region with an observation. The question of what replacement to use is part of the measure problem in cosmology.

연구 동기 및 목표

• 크고 다수의 동일한 관측자가 존재하는 우주에서 제1인칭 확률을 도출하기 위해 보른의 법칙이 부적절하다는 것을 보여주는 것.
• 관측자가 양자 상태 내에서 자신을 국소화할 수 없을 때 상태에 독립적인 사영 연산자가 존재하지 않는다는 핵심 문제를 규명하는 것.
• 관측 확률을 도출하기 위한 보른의 법칙의 타당한 대체 규칙을 제안하는 것, 예를 들어 관측 횟수나 비율에 대한 비사영 연산자의 기대값을 포함한 것.
• 대체 규칙 선택의 모호성이 천체물리학에서의 광범위한 측도 문제를 반영한다는 점을 명확히 하는 것.

제안 방법

• 스페이스타임적으로 분리된 영역 A와 B에서 동일한 국소 물리법칙을 가진 두 위치의 양자 상태를 구성하고, 관측 결과의 초위상 상태를 고려한다.
• 국소 사영 연산자를 사용하여 A에서의 국소 확률 P₁ᴬ, P₂ᴬ와 B에서의 국소 확률 P₁ᴮ, P₂ᴮ를 보른의 법칙에 따라 정의한다.
• 모든 양자 상태에서 국소 확률 P₁ᴬ와 P₁ᴮ의 양의 가중 평균이 되는 기대값을 갖는 상태에 독립적인 사영 연산자가 존재하지 않음을 증명한다.
• 세 가지 대체 규칙을 도입한다: 볼륨 가중(관측 횟수의 기대값), 볼륨 평균(위치 비율의 기대값), 관측 평균(전체 관측 중 비율의 기대값).
• 모든 대체 규칙를 비사영 연산자의 기대값으로서 확률을 할당하는 선형 규칙으로 기술하고, 보른의 법칙과 대비시킨다.
• 비선형 규칙은 가능하지만 더 자연스럽지 않으며, 우선 선형 대체 규칙을 탐색할 것을 주장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 보른의 법칙은 다수의 동일한 관측자가 존재하는 우주에서 제1인칭 확률을 일관되게 할당할 수 있는가?
• RQ2 국소 확률의 가중 평균을 다수의 관측자 복사본 간에 도출할 수 있는 상태에 독립적인 사영 연산자가 존재하는가?
• RQ3 크거나 다중우주 천체물리학적 모델에서 관측 확률을 도출하기 위한 보른의 법칙의 타당한 대체 규칙는 무엇인가?
• RQ4 볼륨 가중, 볼륨 평균, 관측 평균은 서로 다른 수의 관측자 위치를 가진 양자 성분을 어떻게 다루는가?
• RQ5 유한하지만 큰 우주에서도 천체물리학의 측도 문제가 왜 지속되는가? 이는 양자 확률 규칙에 어떤 함의를 갖는다?

주요 결과

• 보른의 법칙은 다수의 동일한 관측자가 존재하는 큰 우주에서는 실패한다. 그 이유는 상태에 독립적인 사영 연산자가 존재하지 않아 국소 확률의 양의 가중 평균이 되는 기대값을 도출할 수 없기 때문이다.
• 임의의 고정된 정규화된 옥타드 기저 사영 연산자 P₁와 P₂에 대해, 기대값이 1과 0이 되는 양자 상태(예: |ψ₁⟩)가 존재하며, 이러한 기대값은 국소 확률의 가중 평균로 표현될 수 없다.
• 이 증명은 복소 진폭 b₁₂와 b₂₁의 임의의 정규화된 값에 대해 성립하므로, 특정 진폭에 의존하지 않는 일반적인 실패임을 보여준다.
• 보른의 법칙의 세 가지 타당한 대체 규칙으로 볼륨 가중, 볼륨 평균, 관측 평균을 제안한다. 이들은 모두 비사영 연산자의 기대값으로서 확률을 할당한다.
• 이 대체 규칙들은 양자 상태에 대해 선형이며, 사영 연산자를 '관측 수를 세거나 비율화하는 관측 연산자'로 대체할 수 있다.
• 적절한 대체 규칙를 선택하는 데서의 모호성은 유한하지만 큰 우주에서도 여전히 해결되지 않은 측도 문제를 반영한다.