[논문 리뷰] Bose particles in a box I. A convergent expansion of the ground state of a three-modes Bogoliubov Hamiltonian

Alessandro Pizzo|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 22.

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates참고 문헌 28인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 상자 안의 보스 입자에 대한 세 모드 보고리우보프 해밀토니안의 기본 상태를 구성하기 위해 입자 상태의 점유수를 기반으로 한 새로운 다중 척도 페쉬바흐-슐루어 맵 기법을 제안한다. 작은 운동에너지 대 잠재에너지 비율과 평균장 근사에서, 큰 입자 수 $N\to\infty$일 때 임의의 정밀도로 유효한, 기본 연산자에 대한 수렴하는 전개를 제공하며, 차원 $d \geq 1$ 에서 엄밀한 제어를 보장하고, $d \geq 3$ 에서는 크기가 큰 유한한 상자로 확장된다. 이 방법은 고정된 입자 수와 열역학적 영역에서 다체 기본 상태에 대한 체계적이고 비섭동적인 제어를 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper we introduce a novel multi-scale technique to study many-body quantum systems where the total number of particles is kept fixed. The method is based on Feshbach map and the scales are represented by occupation numbers of particle states. Here, we consider a three-modes (including the zero mode) Bogoliubov Hamiltonian for a sufficiently small ratio between the kinetic energy and the Fourier component of the (positive type) potential corresponding to the two nonzero modes. For any space dimension d\geq 1 and in the mean field limiting regime (i.e., at fixed box volume |Λ| and for a number of particles, N, sufficiently large) this method provides the construction of the ground state and its expansion in terms of the bare operators that in the limit N o \infty is up to any desired precision. In space dimension d \geq 3 the method provides similar results for an arbitrarily large (finite) box and a large but fixed particle density ρ, i.e.,ρis independent of the size of the box.

연구 동기 및 목표

• 고정된 입자 수를 가진 다체 보스 체계의 기본 상태를 구성하기 위한 비섭동적이고 다중 척도적인 방법을 개발한다.
• 입자 수 $N \to \infty$ 일 때, 평균장 근사에서 기본 상태를 기본 연산자에 대해 엄밀하게 전개하는 데 도전하는 문제를 다룬다.
• 표준 보고리우보프 근사 이외의 분석을 위해 점유수 척도를 반영한 페쉬바흐-슐루어 맵을 통합함으로써 분석을 확장한다.
• 세 모드 모델에 대해 기본 상태 벡터를 수학적으로 엄밀하게 구성함으로써 전체 다체 시스템의 기본 상태를 구성하는 데 기초가 되는 구조를 제공한다.
• $d \geq 3$ 에서 유한하고 큰 상자 영역 모두에서 적외선 발산을 제어하고, 전개의 수렴성을 보장한다.

제안 방법

• 해밀토니안을 입자 상태의 점유수에 기반한 낮은 점유수 및 높은 점유수 영역으로 분리하기 위해 페쉬바흐-슐루어 맵을 사용한다.
• 세 모드(영 모드 포함)의 점유수에 의해 척도가 정의되며, 이는 해밀토니안의 계층적이고 다중 척도적 분석을 가능하게 한다.
• 페쉬바흐-슐루어 흐름은 반복적으로 구현되며, 각 단계에서 고정된 총 입자 수 부분공간으로의 사영과 잔여 상호작용의 수축 추정에 의해 제어된다.
• 각 척도에서 효과적 해밀토니안의 순차적 해를 구함으로써 기본 상태를 재귀적으로 구성하며, 기본 생성/소멸 연산자에 대한 수렴하는 급수 전개를 사용한다.
• 핵심 추정은 해밀토니안의 잔여항 $R^{\text{Bog}}$ 과 자기에너지 연산자 $\Gamma^{\text{Bog}}$ 의 유계성에 기반하며, $0 < \beta < 1$ 일 때 $N^{1-\beta}$ 에 따라 지수적으로 감소하는 수렴성이 제어된다.
• 이 방법은 전체 전개와 잘라낸 전개 사이의 차이가 $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\sqrt{\epsilon_{\mathbb{j}_*}}} \left(\frac{1}{1 + c\sqrt{\epsilon_{\mathbb{j}_*}}}\right)^{N^{1-\beta}}\right)$ 로 유계지며, $N \to \infty$ 일 때 빠르게 감소함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 입자 수에서 평균장 근사에서 세 모드 보고리우보프 해밀토니안의 기본 상태에 대해 수렴 전개를 구성할 수 있는가?
• RQ2 점성수 척도를 기반으로 하여 운동량 척도가 아닌 다중 척도 프레임워크에 맞게 페쉬바흐-슐루어 맵을 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ3 $N \to \infty$ 근사에서 기본 상태 전개의 수렴성을 보장하기 위한 운동에너지 대 잠재에너지 비율에 대한 조건은 무엇인가?
• RQ4 입자 밀도를 고정한 상태에서 $d \geq 3$ 에서 크기가 큰 유한한 상자로 방법을 확장할 수 있는가?
• RQ5 잘라낸 전개가 진짜 기본 상태 벡터로 수렴하는 정량적 속도는 무엇인가?

주요 결과

• 세 모드 보고리우보프 해밀토니안의 기본 상태는 페쉬바흐-슐루어 흐름을 통해 기본 연산자에 대한 수렴 전개로 구성되며, $N \to \infty$ 일 때 임의의 정밀도로 유효하다.
• 이 방법은 오차 유계가 $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\sqrt{\epsilon_{\mathbb{j}_*}}} \left(\frac{1}{1 + c\sqrt{\epsilon_{\mathbb{j}_*}}}\right)^{N^{1-\beta}}\right)$ 로 주어지며, $0 < \beta < 1$ 일 때 $N^{1-\beta}$ 에 따라 지수적으로 감소한다.
• $d \geq 3$ 에서는 고정된 입자 밀도 $\rho$ 를 유지하면서 임의로 큰(유한한) 상자에 적용 가능하며, 평균장 근사 이외의 더 넓은 열역학적 영역으로 확장된다.
• 비제로인 두 모드의 양의 성질 잠재에너지의 푸리에 성분과 운동에너지 간의 비율이 충분히 작을 경우에 유효하다.
• 이 방법은 [Pi2] 에서 설명된 바와 같이 세 모드 부분계열에 반복적으로 적용함으로써 전체 다체 기본 상태를 체계적으로 비섭동적으로 구성하는 프레임워크를 제공한다.
• 분석은 해밀토니안의 스펙트럼 성질을 엄밀히 제어하며, 적외선 발산이 존재하는 상황에서도 연산자 노름에서 급수 전개의 수렴성을 보장한다.