[논문 리뷰] Boundary action of automaton groups without singular points and Wang tilings

Daniele D’Angeli, Thibault Godin외 3명|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 26.

Cellular Automata and Applications참고 문헌 17인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 특이점이 없는 자동기계 군—경계에서 안정자 지ap이 연속적이지 않은 점—을 조사하며, 수축 자동기계와 이중가역적 구조를 통해 이러한 군의 특성을 규명한다. 이는 특이점의 부재와 순환하지 않는 Wang 타일링 사이의 깊은 연관성을 밝혀내며, 비자명한 공통작용 쌍이 없는 초등적 자유 자동기계가 순환하지 않는 타일링을 유도함을 증명한다.

ABSTRACT

We study automaton groups without singular points, that is, points in the boundary for which the map that associates to each point its stabilizer, is not continuous. This is motivated by the problem of finding examples of infinite bireversible automaton groups with all trivial stabilizers in the boundary, raised by Grigorchuk and Savchuk. We show that, in general, the set of singular points has measure zero. Then we focus our attention on several classes of automata. We characterize those contracting automata generating groups without singular points, and apply this characterization to the Basilica group. We prove that potential examples of reversible automata generating infinite groups without singular points are necessarily bireversible. Then we provide some necessary conditions for such examples to exist, and study some dynamical properties of their Schreier graphs in the boundary. Finally we relate some of those automata with aperiodic tilings of the discrete plane via Wang tilings. This has a series of consequences from the algorithmic and dynamical points of view, and is related to a problem of Gromov regarding the searching for examples of CAT(0) complexes whose fundamental groups are not hyperbolic and contain no subgroup isomorphic to $\mathbb{Z}^{2}$.

연구 동기 및 목표

• 그리고치크와 사프추크의 열린 문제인 경계에서 자명한 안정자를 가진 무한한 이중가역 자동기계 군의 존재 문제를 다루는 것.
• 특히 수축 및 이중가역 클래스에서 특이점이 없는 자동기계 군을 특성화하는 것.
• 공통작용 쌍과 헬릭스 그래프를 통해 특이점의 부재와 순환하지 않는 Wang 타일링 사이의 연결 고리를 설정하는 것.
• 경계에서의 슈라이어 그래프의 동역학적 성질과 그 군 작용과의 관계를 조사하는 것.
• 특히 비초등적 공통작용 쌍의 맥락에서 이러한 군에 대한 결정 가능성과 구조적 제약 조건을 탐구하는 것.

제안 방법

• 자동기계 군의 경계 작용을 사용하고 안정자 지점의 연속성 분석을 통해 특이점을 정의한다.
• 특이점 문제를 비초등적 공통작용 쌍의 존재로 환원하기 위해 헬릭스 그래프 개념을 적용한다.
• 특이점이 없는 상태를 특성화하기 위해 강한 특이점 및 본질적 특이점 헬릭스 그래프의 개념을 도입한다.
• 특히 M ⊔ M⁻¹를 통해 이중 자동기계 구조를 통해 자동기계 군과 Wang 타일셋 간의 대응 관계를 설정한다.
• 수축 케이스에서 안정 자동기계를 특성화하기 위해 B"uchi 자동기계와 언어 이론의 결과를 활용한다.
• 카리-파파소글루 타일링 프레임워크를 활용하여 주기적 타일링과 순환하지 않는 타일링이 공통작용 쌍의 존재와 어떻게 관련되는지 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수축 자동기계로 생성된 자동기계 군이 특이점이 없는 조건은 무엇인가?
• RQ2 특이점이 없는 이중가역 자동기계 군이 존재할 수 있으며, 어떤 구조적 제약 조건을 만족해야 하는가?
• RQ3 비초등적 공통작용 쌍과 순환하지 않는 Wang 타일링의 존재 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 주어진 Mealy 자동기계에 대해 특이점의 존재 여부는 결정 가능한가?
• RQ5 서로 다른 특이점이지만 슈라이어 그래프가 서로 동형일 수 있는가?

주요 결과

• 모든 자동기계 군의 경계에서 특이점 집합은 측도가 0이다.
• 이중가역 자동기계 군의 경우, 특이점은 정확히 비자명한 안정자를 가진 점들과 일치하며, 이러한 군이 본질적으로 자유롭게 작용함을 확인한다.
• 수축 케이스에서 특이점이 없는 자동기계 군은 안정 자동기계를 생성하는 군으로 특성화되며, 안정 단어의 언어는 B"uchi 자동기계에 의해 인식된다.
• 바실리아 군은 특이점이 없음을 입증되었으며, 하노이 타워 군과는 대조된다.
• 비초등적 공통작용 쌍 u ∈ (Q ∖ {e})*, v ∈ Σ*의 존재는 Kari-Papasoglu 유형의 주기적 타일링의 존재와 동치이다.
• M ⊔ M⁻¹에서 유도된 타일셋은 비초등적 공통작용 쌍이 없고 초등적 자유임이 보장될 때에만 순환하지 않는 타일링을 허용하며, 이는 정리 6.16에 의해 완전한 특성화가 이루어진다.