[논문 리뷰] Boundary amenability and measure equivalence rigidity among two-dimensional Artin groups of hyperbolic type

Camille Horbez, Jingyin Huang|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 20.

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한 줄 요약

이 논문은 초등형 2차원 아르틴 군에 대해 경계 적응성과 측도 동치 강성 정리를 확립하며, 이들이 노비코프 추측을 만족하고 측도 동치 하에 강하게 고정된다는 것을 증명한다. CAT(−1) 복합체와 고정점 그래프에 대한 작용을 통해, 측도 동치인 군들은 카일리 복합체의 자기동형군의 격자와 공액임을 보이며, 정의 그래프가 삼각형을 포함하지 않고 라벨이 모두 3 이상이면 강한 고정성이 성립한다.

ABSTRACT

We study $2$-dimensional Artin groups of hyperbolic type from the viewpoint of measure equivalence, and establish rigidity theorems. We first prove that they are boundary amenable. So is every group acting discretely by simplicial isometries on a connected piecewise hyperbolic $\mathrm{CAT}(-1)$ simplicial complex with countably many simplices in finitely many isometry types, assuming that vertex stabilizers are boundary amenable. Consequently, they satisfy the Novikov conjecture. We then show that measure equivalent $2$-dimensional Artin groups of hyperbolic type have isomorphic fixed set graphs -- an analogue of the curve graph, introduced by Crisp. This yields classification results. We obtain strong rigidity theorems. Let $G=G_Γ$ be a $2$-dimensional Artin group of hyperbolic type, with $\mathrm{Out}(G)$ finite. When the automorphism groups of the fixed set graph and of the Cayley complex $\mathfrak{C}$ coincide, every countable group $H$ which is measure equivalent to $G$, is commensurable to a lattice in $\mathrm{Aut}(\mathfrak{C})$. This happens whenever $Γ$ is triangle-free with all labels at least $3$ -- unless $G$ is commensurable to the direct sum of $\mathbb{Z}$ and a free group. When $Γ$ satisfies an additional star-rigidity condition, then $\mathrm{Aut}(\mathfrak{C})$ is countable, and $H$ is almost isomorphic to $G$. This has applications to orbit equivalence rigidity, and rigidity results for von Neumann algebras associated to ergodic actions of Artin groups. We also derive a rigidity statement regarding possible lattice envelopes of certain Artin groups, and a cocycle superrigidity theorem from higher-rank lattices to $2$-dimensional Artin groups of hyperbolic type.

연구 동기 및 목표

• 2차원 초등형 아르틴 군과 그 일반화가 CAT(−1) 단순 복합체에 이산적으로 작용할 때 경계 적응성을 확립한다.
• 이들 군에 대해 측도 동치 강성 정리를 증명하여, 측도 동치인 군들이 카일리 복합체의 자기동형군의 격자와 공액임을 보인다.
• 별-강성 또는 삼각형이 없는 그래프 조건을 추가로 만족할 경우 강한 고정성 결과를 도출하여, 측도 동치인 군들이 거의 동형임을 보인다.
• 결과를 궤도 동치 강성과 에르고딕 작용에 관련된 바나흐-볼록 대수의 강성에 적용한다.
• 고계수 격자에서 이 2차원 초등형 아르틴 군으로의 코사이클 초강성 정리를 확립하여, 모든 코사이클이 자명한 것과 코homologous임을 보인다.

제안 방법

• 이산적으로 작용하는 가 countable, 조각별 초등형 CAT(−1) 단순 복합체에 대해, 군의 경계 적응성에 대한 일반 기준을 증명한다. 단순체의 등급이 유한한 등급을 가진다.
• 정점 안정자군이 경계 적응적이라면 군 전체도 경계 적응적임을 보이며, 변 안정자군이 적응적이라면 시각 경계 위의 작용이 보렐 적응적임을 보인다.
• 아르틴 군에 대해 곡선 그래프 유사 객체인 고정점 그래프 ΘΓ를 도입한다. 이는 표면 군의 곡선 그래프를 일반화한다.
• 포텐셜 하위군에 대해 고정점 그래프의 기하학적 강성과 Guelman-Hurtado-Lyndon의 결과를 결합하여 측도 동치 강성을 유도한다.
• 고계수 격자에 대한 코사이클 강성 이론을 적용하여, 그러한 격자에서 아르틴 군으로의 모든 코사이클이 자명한 것과 코homologous임을 보인다.
• 고정점 그래프에서 정점 안정자군이 F×Z (F는 자유군)와 거의 동형임을 이용하고, 자유군과 Z에 대한 알려진 코사이클 강성 결과를 활용하여 결과를 곱집합으로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 초등형 아르틴 군이 경계 적응성을 만족하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 두 측도 동치인 2차원 초등형 아르틴 군이 카일리 복합체의 자기동형군의 격자와 공액이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 정의 그래프에 어떤 조건이 성립하면 측도 동치인 군들이 거의 동형이 되는가?
• RQ4 고정점 그래프의 구조는 아르틴 군에서의 측도 동치와 강성과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 고계수 격자에서 2차원 초등형 아르틴 군으로의 코사이클 강성 정리를 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 2차원 초등형 아르틴 군은 경계 적응적이며, 따라서 고차의 서명에 대한 노비코프 추측을 만족한다.
• 정의 그래프가 삼각형을 포함하지 않고 모든 라벨이 3 이상이며, Out(G)가 유한하다면, G와 측도 동치인 모든 군은 Aut(𝒞)의 격자와 공액이다.
• 정의 그래프가 별-강성 조건을 만족하고 Aut(𝒞)가 가 countable이며, 측도 동치인 모든 군 H는 G와 거의 동형이다.
• 고정점 그래프 ΘΓ는 곡선 그래프 유사 구조이며, GΓ는 이에 대해 기하학적으로 강성 있게 작용하므로 코사이클 강성 기법을 적용할 수 있다.
• 고계수 격자나 대수적 군에서 2차원 초등형 아르틴 군으로의 모든 코사이클은 자명한 코사이클과 코homologous이다.
• 결과는 이러한 아르틴 군의 에르고딕 작용에 관련된 바나흐-볼록 대수의 강한 W*-강성과, 국소적으로 컴act하고 두 번째 가산인 군 내의 격자 봉인의 가능한 분류를 암시한다.