[논문 리뷰] Boundary control of cascaded ODE-Heat equations under actuator saturation

Wen Kang, Emilia Fridman|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 12.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 시간에 따라 변하는 상태 지연과 액추에이터 포화가 있는 연쇄형 ODE-열 시스템에 대한 백스테핑 기반 경계 제어 법칙을 제안한다. 지연된 시스템으로의 백스테핑 방법의 확장과 라플라스-크라소브스키 함수형식 및 LMI의 사용을 통해 지연에 독립적인 지수 안정성 조건을 유도하고, 초기 조건의 보장된 영역 내에서 전역 지수 안정성을 확보하는 영역의 추정치를 계산한다.

ABSTRACT

In this paper, we consider boundary stabilization for a cascade of ODE-heat system with state delay under actuator saturation. To stabilize the system, we design a state feedback controller via the backstepping method and find a bound on the domain of attraction. The latter bound is based on Lyapunov method, whereas the exponential stability of the delayed cascaded systems is proved by using Halanay's inequality. Numerical examples illustrate the efficiency of the method.

연구 동기 및 목표

• PDE-ODE 연쇄 시스템에서 액추에이터 포화와 시간에 따라 변하는 지연이 존재할 경우 경계 제어 방법의 부족을 해결하기 위해.
• 백스테핑 방법을 상태 지연이 있는 시스템으로 확장하여 볼테라 적분 변환을 통해 안정화를 가능하게 하기 위해.
• 할란라이의 부등식과 라플라스 방법을 사용하여 지연에 독립적인 안정성 조건을 도출하기 위해.
• 액추에이터 포화 제약 조건 하에서 폐쇄 루프 시스템의 가장 큰 영역의 추정치를 산정하기 위해.
• 지수 안정성을 보장하는 계산 가능한 초기 상태 영역 내에서 제어기 설계를 위한 LMI 기반 조건을 제공하기 위해.

제안 방법

• 원래의 지연이 있는 ODE-열 시스템을 연속된 동역학을 갖는 목표 시스템으로 매핑하기 위해 볼테라 적분 변환을 사용한다.
• 백스테핑 방법을 ODE 및 PDE 성분 모두에서 시간에 따라 변하는 지연을 다룰 수 있도록 확장한다.
• 지연에 독립적인 지수 안정성 조건을 도출하기 위해 목표 시스템에 대해 라플라스-크라소브스키 함수형식을 구성한다.
• 선형 행렬 부등식(LMI)을 사용하여 액추에이터 포화를 고려한 상태 피드백 제어기를 설계한다.
• 지수 수렴을 보장하는 초기 조건 집합의 크기를 최대화하기 위해 LMI를 풀어 영역의 추정치를 산정한다.
• 유한 차분 방법을 사용한 수치 시뮬레이션을 통해 방법의 타당성을 검증한다. 구체적인 초기 조건과 지연 값이 사용된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 액추에이터 포화 하에서 시간에 따라 변하는 상태 지연이 있는 연쇄형 ODE-열 시스템을 안정화하기 위해 백스테핑 방법을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 제어 포화 조건 하에서 폐쇄 루프 시스템이 지수 안정성을 유지할 수 있는 초기 조건의 가장 큰 집합은 무엇인가?
• RQ3 라플라스 방법과 할란라이의 부등식을 사용하여 이러한 시스템에 대해 지연에 독립적인 안정성 조건을 도출할 수 있는가?
• RQ4 LMI는 어떻게 사용되어 입력 포화를 고려하면서도 지수 안정성을 보장하는 경계 제어기를 설계할 수 있는가?
• RQ5 제어기 설계 파rameter와 추정된 영역의 크기 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 디리클레 작동 조건 하에서 영역의 추정치는 $\mathcal{X}_{u} = \{(X_0,u_0) \in W_1 : 1.34\max_{[-h,0]}|X_0|^2 + 2.24\max_{[-h,0]}\|u_0\|^2 \leq 1\}$로 계산되었으며, $h=0.4$일 때 이 집합 내의 초기 상태에 대해 지수 안정성이 보장된다.
• 뉴먼 작동 조건 하에서 영역의 추정치는 $\mathcal{X}_{u} = \{(X_0,u_0) \in W_1 : 13.96\max_{[-h,0]}|X_0|^2 + 16.67\max_{[-h,0]}\|u_0\|^2 + 0.47\max_{[-h,0]}\|u_0'\|^2 \leq 1\}$로 계산되었으며, $h=0.4$일 때 이 영역 내의 초기 조건에 대해 안정성이 확인된다.
• 수치 시뮬레이션에서 초기 조건이 추정된 영역의 추정치 내에 있을 경우 시스템이 성공적으로 안정화되었고, 그 외부에 있을 경우 불안정성이 발생하였다.
• 디리클레 작동 조건 하에서 $\beta$의 최소값은 0.0739이며, 뉴먼 작동 조건 하에서는 0.1176이다. 이 값들은 영역의 추정치 내에 포함된 가장 큰 타원체에 대응한다.
• 수치 결과는 액추에이터 포화 조건 하에서도 계산된 타원체 경계 내의 초기 상태에 대해 제어기가 지수 안정성을 유지함을 확인하였다.
• 이 방법은 전역 리프시츠 비선형성을 갖는 비선형 ODE-열 시스템 및 옵저버 기반 제어 설계로도 확장 가능하다.