[논문 리뷰] Boundary criticality via gauging finite subgroups: a case study on the clock model

Lei Su|arXiv (Cornell University)|2023. 06. 05.

Particle physics theoretical and experimental studies인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 (d+1)차원 양자장 이론에서 비이상적인 0형 대칭의 유한 아벨 정규부분군을 게이지화하여 비정상적인 양자临계점을 생성하는 메커니즘을 제안한다. 임계점에서 부분군 Γ가 완전히 자발적으로 대칭이 깨질 때, 잔류 대칭 G/Γ와 이중 (d−1)-형 대칭 Γ̂ 사이의 혼합 't Hooft 이상성으로 인해, d=1일 경우 이 теories는 비구속 양자临계점(DQCP)으로 매핑되고, d≥2일 경우 대칭 깨짐 단계와 위상적으로 질서된 단계 사이의 임계점으로 매핑된다. 핵심 결과는 순서 및 무질서 매개변수의 크기 법칙이 게이지화 과정에서도 유지된다는 것으로, 이는 비정상적인 임계성의 정확한 특성화를 가능하게 한다.

ABSTRACT

Gauging a finite Abelian normal subgroup $Γ$ of a nonanomalous 0-form symmetry $G$ of a theory in $(d+1)$D spacetime can yield an unconventional critical point if the original theory has a continuous transition where $Γ$ is completely spontaneously broken and if $G$ is a nontrivial extension of $G/Γ$ by $Γ$. The gauged theory has symmetry $G/Γ imes \hatΓ^{(d-1)}$, where $\hatΓ^{(d-1)}$ is the $(d-1)$-form dual symmetry of $Γ$, and a 't Hooft anomaly between them. Thus it can be viewed as a boundary of a topological phase protected by $G/Γ imes \hatΓ^{(d-1)}$. The ordinary critical point, upon gauging, is mapped to a deconfined quantum critical point between two ordinary symmetry-breaking phases ($d =1$) or an unconventional quantum critical point between an ordinary symmetry-breaking phase and a topologically ordered phase ($d\ge 2$) associated with $G/Γ$ and $\hatΓ^{(d-1)}$, respectively. Order parameters and disorder parameters, before and after gauging, can be directly related. As a concrete example, we gauge the $\mathbb{Z}_2$ subgroup of $\mathbb{Z}_4$ symmetry of a 4-state clock model on a 1D lattice and a 2D square lattice. Since the symmetry of the clock model contains $D_8$, the dihedral group of order 8, we also analyze the anomaly structure which is similar to that in the compactified $SU(2)$ gauge theory with $θ=π$ in $(3+1)$D and its mixed gauge theory. The general case is also discussed.

연구 동기 및 목표

• 비이상적인 0형 대칭의 유한 아벨 정규부분군을 게이지화하여 비정상적인 양자임계점을 생성하는 일반적 메커니즘을 수립하는 것.
• G/Γ와 이중 (d−1)-형 대칭 Γ̂ 사이의 혼합 't Hooft 이상성이 연속적인 상전이를 어떻게 강제하는지 밝히는 것.
• 순서 및 무질서 매개변수의 크기 법칙이 게이지화 과정에서 유지됨을 보여주어, 일반 임계점에서 비정상 임계점으로의 정확한 매핑을 가능하게 하는 것.
• 1차원 및 2차원 격자에서 Z₂ 부분군의 게이지화를 통해 4상 클록 모형을 구체적으로 사례 연구하는 것.
• θ=π인 압축된 SU(2) 게이지 이론과의 관련성을 고려하여, D₈ 이면군 대칭을 가진 4상 클록 모형의 이상성 구조를 분석하는 것.

제안 방법

• 비이상적인 0형 대칭 G의 유한 아벨 정규부분군 Γ를 평탄한 배경 게이지 장에 결합하고, 구성의 합을 취하여 Γ를 게이지화하는 것.
• Γ의 이중 Γ̂^(d−1)를 사용하여 게이지화된 이론에서 나타나는 (d−1)-형 대칭을 식별하는 것. 이는 Γ의 이중성으로서 나타난다.
• H²(G/Γ, Γ)에 포함된 확장 클래스를 분석하여, 게이지화된 이론이 G/Γ와 Γ̂^(d−1) 사이에 비자명한 혼합 't Hooft 이상성을 가지는지 여부를 판단하는 것.
• 기존 G-대칭 이론의 순서 및 무질서 매개변수를 게이지화된 이론의 G/Γ × Γ̂^(d−1) 대칭 영역으로 매핑하는 것.
• 1차원 및 2차원 격자에 대해 4상 및 6상 클록 모형을 구체적으로 구성하여 이 메커니즘을 실현하는 것.
• 대수적 관계와 대칭 생성자(예: U₁ = ∏Sⱼ, U₂ = ∏τⱼ+1/2^z)를 사용하여 Z₂ 및 Z₃ 대칭을 분리하고, gcd(q,n)=1일 때 이상성이 존재하지 않음을 확인하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비이상적인 0형 대칭 G의 유한 아벨 정규부분군 Γ를 게이지화할 때, 어떤 조건에서 비정상적인 양자임계점이 발생하는가?
• RQ2 H²(G/Γ, Γ)에 비자명한 확장 클래스가 존재할 경우, G/Γ와 이중 (d−1)-형 대칭 Γ̂^(d−1) 사이에 혼합 't Hooft 이상성이 어떻게 유도되는가?
• RQ3 Γ의 자발적 대칭 깨짐이 임계점이 게이지화 과정을 거쳐도 비구속 또는 위상 임계점으로 유지되는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 순서 및 무질서 매개변수의 크기 법칙이 게이지화 과정에서 어떻게 유지되는지, 그리고 임계 행동을 특성화하는 데 어떻게 활용되는가?
• RQ5 4상 클록 모형에서 D₈ 이면군 대칭을 가진 이상성 구조는 무엇이며, θ=π인 압축된 SU(2) 게이지 이론과는 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 비이상적인 0형 대칭 G의 유한 아벨 정규부분군 Γ를 게이지화하면, 대칭이 G/Γ × Γ̂^(d−1)인 게이지화된 이론이 생성되며, 여기서 Γ̂^(d−1)는 Γ의 (d−1)-형 이중 대칭이다.
• G가 G/Γ에 대한 Γ의 비자명한 확장이라면, 게이지화된 이론은 G/Γ와 Γ̂^(d−1) 사이에 혼합 't Hooft 이상성을 나타내며, 이로 인해 단순히 구속된 상태가 될 수 없다.
• d=1일 경우, 임계점은 두 대칭 깨짐 단계 사이의 비구속 양자임계점(DQCP)으로 매핑된다.
• d≥2일 경우, 임계점은 일반적인 대칭 깨짐 단계(G/Γ에 관련)와 위상적으로 질서된 단계(Γ̂^(d−1)에 관련) 사이의 비정상적인 양자임계점으로 매핑된다.
• 기존 이론에서의 순서 및 무질서 매개변수의 크기 법칙은 게이지화된 이론으로 그대로 이어져, 임계 행동에 대한 정확한 정보를 제공한다.
• 6상 클록 모형의 경우, 기저를 Sⱼ와 τⱼ+1/2^z로 바꿈으로써 Z₂ 및 Z₃ 대칭이 분리되며, gcd(6,2)=2≠1이므로 확장이 자명하고 이상성이 발생하지 않음을 보여준다.