[논문 리뷰] Boundary Degeneracy of Topological Order

Juven Wang, Xiao-Gang Wen|arXiv (Cornell University)|2012. 12. 19.

Topological Materials and Phenomena참고 문헌 1인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 고립된 경계를 가진 위상적으로 순서진 시스템에 대해 경계 비퇴도를 새로운 위상적 불변량으로 도입하며, 이를 통해 본질적 위상적 정보를 더 풍부하게 담을 수 있음을 보여준다. 초전도체 이론을 통해 저자들은 경계 GSD에 대한 공식을 유도하였으며, 이는 위상과 경계 고립 조건(특히 준입자 응집 유형)에 모두 의존한다. 이는 고립된 경계 측정을 통해 이전에는 동일하게 간주되던 $Z_2$ 토릭 코드와 $Z_2$ 듀얼세미온 모델을 원환면 또는 실린더에서 실험적으로 구별할 수 있게 한다.

ABSTRACT

We introduce the concept of boundary degeneracy of topologically ordered states on a compact orientable spatial manifold with boundaries, and emphasize that the boundary degeneracy provides richer information than the bulk degeneracy. Beyond the bulk-edge correspondence, we find the ground state degeneracy of the fully gapped edge modes depends on boundary gapping conditions. By associating different types of boundary gapping conditions as different ways of particle or quasiparticle condensations on the boundary, we develop an analytic theory of gapped boundaries. By Chern-Simons theory, this allows us to derive the ground state degeneracy formula in terms of boundary gapping conditions, which encodes more than the fusion algebra of fractionalized quasiparticles. We apply our theory to Kitaev's toric code and Levin-Wen string-net models. We predict that the $Z_2$ toric code and $Z_2$ double-semion model (more generally, the $Z_k$ gauge theory and the $U(1)_k imes U(1)_{-k}$ non-chiral fractional quantum Hall state at even integer $k$) can be numerically and experimentally distinguished, by measuring their boundary degeneracy on an annulus or a cylinder.

연구 동기 및 목표

• 고립된 경계를 가진 위상적으로 순서진 시스템에서 경계 기본 상태 비퇴도(GSD)를 정의하고 특성화하는 것 — 이는 본질적 GSD와는 다름.
• 경계 GSD가 위상과 anyon 융합 규칙 외에도 특정 경계 고립 조건에 의존하며, 이는 본질적으로 본질적 특성에 의해 유일하게 결정되지 않는다는 것을 보여주는 것.
• 경계 고립 조건에 따라 경계 GSD를 계산할 수 있는 초전도체 이론 기반의 분석 프레임워크를 개발하는 것.
• 경계 GSD가 동일한 본질적 GSD와 융합 규칙을 가진 위상적 순서를, 예를 들어 $Z_k$ 게이지 이론과 $U(1)_k \times U(1)_{-k}$ 비색성 양자홀 상태 등 구별할 수 있음을 보여주는 것.
• 경계 GSD가 내재된 위상적 순서와 비순수한 위상적 순서(예: 고립된 가장자리를 가진 대칭 보호 위상)를 분류하는 데 더 정교한 관측량으로 기능할 수 있음을 제안하는 것.

제안 방법

• 고립된 경계 모드를 포함한 본질적 위상적 순서 시스템의 기본 상태 비퇴도로 경계 GSD를 수학적으로 정의하는 것.
• K-행렬 형식을 사용한 초전도체 장 이론을 활용하여 경계 고립 격자와 입자 응집 패tern에 따라 경계 GSD의 일반 공식을 유도하는 것.
• 경계 고립 격자 $\Gamma^{\partial_\alpha}$ 의 개념을 도입하고, 이와 anyon 응집 조건 $\Gamma^{\partial_\alpha} \subset \Gamma^{\partial_\alpha}_{\text{cond}}$ 와의 관계를 설정하는 것. 여기서 후자는 K-행렬과 입자 격자로부터 유도된다.
• 경계를 접합하는 절차를 적용하여 경계 GSD와 본질적 GSD 간의 관계를 규명하고, 위상적 접합을 통해 본질적 GSD가 경계 GSD로부터 재구성될 수 있음을 보여주는 것.
• K-행렬의 표준형(페르미온: $\bigl{(}{\begin{smallmatrix}1&0\\ 0&-1\end{smallmatrix}}\bigr{)}$ 블록; 보존: $\bigl{(}{\begin{smallmatrix}0&1\\ 1&0\end{smallmatrix}}\bigr{)}$ 블록)을 사용하여 $|\det K|=1$ 조건 하에서 경계 고립 조건을 분류하는 것.
• 이때 $|\det K|=1$ 인 경우, 모든 비자명한 anyon(페르미온 또는 보존)이 K-행렬 모듈로 하에 물리적으로 구별 불가능하며, 이에 따라 유일한 경계 고립 조건 유형 $\mathcal{N}^\partial_g = 1$ 이 존재함을 규명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고립된 경계와 고립된 경계 모드를 모두 가진 위상적으로 순서진 시스템에서, 기본 상태 비퇴도는 경계 고립 조건에 어떻게 의존하는가?
• RQ2 동일한 본질적 GSD와 융합 규칙을 가진 위상적 순서(예: $Z_k$ 게이지 이론과 $U(1)_k \times U(1)_{-k}$ 비색성 양자홀 상태)를 경계 GSD로 구별할 수 있는가?
• RQ3 경계에서 anyon 응집이 경계 GSD에 미치는 역할은 무엇이며, 이는 초전도체 이론에서 어떻게 기술되는가?
• RQ4 위상적 접합을 통해 경계 GSD는 본질적 GSD와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 본질적-경계 상응관계를 초월하여 다양한 경계 고립 조건 유형이 존재하는가? 그리고 주어진 K-행렬 이론에서 $|\det K|=1$ 인 경우 그 수는 몇 개인가?

주요 결과

• 경계 GSD는 각 경계의 기여를 독립적으로 분리할 수 없으며, 이는 경계 고립 조건 간에 비트리비어한 얽힘을 암시한다.
• 성질이 $g$ 인 리만 표면에 $\eta'$ 개의 접합되지 않은 경계가 있는 경우, 경계 GSD는 $|\det K|^g \cdot \left| \frac{L_{qp \cap e}}{\bigoplus_{\alpha'=1}^{\eta'} \Gamma^{\partial_{\alpha'}}} \right|$ 로 유계화되며, 이 비율은 경계에서의 효과적 anyon 응집을 반영한다.
• 이때 $|\det K|=1$ 이면, 모든 비자명한 anyon(페르미온 또는 보존)이 K-행렬 모듈로 하에 물리적으로 구별 불가능하며, 이에 따라 유일한 경계 고립 조건 유형 $\mathcal{N}^\partial_g = 1$ 만 존재한다.
• $Z_2$ 토릭 코드와 $Z_2$ 듀얼세미온 모델은 이전에는 본질적 GSD나 융합 규칙으로는 구별 불가능했지만, 원환면 또는 실린더에서 경계 GSD를 측정함으로써 실험적으로 구별 가능하다.
• $U(1)_k \times U(1)_{-k}$ 비색성 양자홀 상태(짝수 정수 $k$)와 $Z_k$ 게이지 이론은 동일한 융합 규칙과 본질적 GSD를 가지지만, 경계 GSD 측정을 통해 구별 가능하다.
• 경계 GSD는 본질적 GSD나 대칭 양자수로는 감지할 수 없는 위상적 순서, 비순수한 위상적 순서, 고립된 가장자리를 가진 대칭 보호 위상까지 포함하여 더 정교한 관측량을 제공한다.