[논문 리뷰] Boundary Integral Formulation of the Cell-by-Cell Model of Cardiac Electrophysiology

Giacomo Rosilho de Souza, Rolf Krause외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 02. 10.

Advancements in Semiconductor Devices and Circuit Design참고 문헌 38인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 심장 전기생리학의 세포별(EMI) 모델을 위한 경계 적분 형식을 제안하며, 열화된 편미분 방정식계를 세포막에서만 정의된 상미분방정식계로 감소시킨다. 이 방법은 단일 세포에서 공간적 지수 수렴을 달성하고, 표준 방법에 비해 자유도를 줄여 복잡한 조직 기하구조의 효율적이고 정확한 시뮬레이션을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We propose a boundary element method for the accurate solution of the cell-by-cell bidomain model of electrophysiology. The cell-by-cell model, also called Extracellular-Membrane-Intracellular (EMI) model, is a system of reaction-diffusion equations describing the evolution of the electric potential within each domain: intra- and extra-cellular space and the cellular membrane. The system is parabolic but degenerate because the time derivative is only in the membrane domain. In this work, we adopt a boundary-integral formulation for removing the degeneracy in the system and recast it to a parabolic equation on the membrane. The formulation is also numerically advantageous since the number of degrees of freedom is sensibly reduced compared to the original model. Specifically, we prove that the boundary-element discretization of the EMI model is equivalent to a system of ordinary differential equations, and we consider a time discretization based on the multirate explicit stabilized Runge-Kutta method. We numerically show that our scheme convergences exponentially in space for the single-cell case. We finally provide several numerical experiments of biological interest.

연구 동기 및 목표

• 세포막에서만 시간 도함수가 존재하는 세포별(EMI) 모델의 수학적 열화 문제를 해결하기 위해.
• 경계 적분 형식을 통해 시스템을 막 경계로 제한함으로써 대규모 심장 조직 시뮬레이션의 계산 비용을 감소시키기 위해.
• 장시간에 걸친 전기생리학적 동역학을 고공간 정확도로 효율적으로 시뮬레이션할 수 있는 수치적 효율성 있는 방법을 개발하기 위해.
• 세포 기하학적 구조와 갭 재진입 특성이 실제 조직 구성에서 전도 속도에 미치는 영향을 조사하기 위해.
• 비선형 갭 재진입 모델로의 확장을 고려한 경계 적분 방법을 활용한 3D EMI 시뮬레이션의 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• 내세포 및 외세포 영역의 라플라스 방정식을 제거하기 위해 EMI 모델을 경계 적분 방정식으로 재구성한다.
• 이 방법은 전체 시스템을 막 경계에서만 정의된 미분-代수 방정식(DAE)으로 감소시킨다.
• 간접 재진입 조건을 통해 대수적 제약 조건을 제거함으로써 DAE를 막에서 정의된 상미분방정식(OED)의 시스템으로 추가로 감소시킨다.
• 세포 내 동역학에서 발생하는 경직성 문제를 다루기 위해 다속도 명시적 안정화 룬게-쿠타 방법을 시간 적분에 사용한다.
• 공간 이산화에 경계 요소 방법(BEM)을 적용하여 경계 메esh만 필요로 하며 자유도를 크게 감소시킨다.
• 이 방법은 세포 기하학에 종속되지 않으며, 다중 접촉이 있는 경우를 포함한 임의의 세포 배열에 적용 가능하다.

Figure 5 : Action potential propagation in an array of $2\times 20$ cells ( $t=2$\mathrm{ms}$$ ).

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계 적분 방법을 사용하여 EMI 모델의 열화된 편미분 방정식계를 막에서 정의된 비열화된 상미분방정식계로 변환할 수 있는가?
• RQ2 제안된 BEM 이산화의 단일 세포 EMI 문제에 대한 공간 수렴 속도는 얼마인가?
• RQ3 특히 길이와 너비가 증가할 경우 세포 기하학적 구조가 EMI 모델에서 전도 속도에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ4 EMI 모델은 전파 실패를 나타내는가? 이는 표준 비드롬 모델과 어떻게 다를까?
• RQ5 이 방법은 복잡한 세포 배열과 실제 갭 재진입 동역학을 고려한 3차원 EMI 시뮬레이션으로 확장 가능한가?

주요 결과

• 경계 적분 형식은 EMI 모델의 열화를 성공적으로 제거하여 자유도가 크게 감소된 막에서 정의된 상미분방정식계로 감소시켰다.
• 단일 세포의 경우, 이 방법은 매끄러운 해에 대해 공간적으로 지수 수렴을 보이며 고차 정확도를 나타낸다.
• 세포 면적이 증가할수록 전도 속도가 증가하며, 특히 세포 길이와 너비가 비례적으로 확대될 경우 두드러진다.
• 일부 기하학적 및 전도 조건 하에서 EMI 모델은 전파 실패 현상을 보이며, 이는 표준 비드롬 모델에서는 포착되지 않는 현상이다.
• 이 방법은 막에서 10 μm의 공간 해상도로도 충분히 정확하여, 일반적으로 사용되는 동질화 비드롬 모델의 100–200 μm와 대비된다.
• 이 방법은 3차원 시뮬레이션으로의 확장이 가능하며, 비선형 갭 재진입 모델로의 응용도 가능하여 향후 병적 조직 상태 연구에 기여할 수 있다.