[논문 리뷰] Boundary singular solutions of a class of equations with mixed absorption-reaction

Bidaut-Veron, Marie-Fran\c{c}oise, Garcia-Huidobro, Marta외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 31.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 14인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 $Ω$ 또는 $ℝ^N_+$에서 $-\Delta u + u^p - M|\nabla u|^q = 0$의 형태를 가진 혼합 흡수 및 반응 항을 포함하는 일련의 양의 해에 대해 고립된 경계 특이점을 연구한다. 경계 특이점의 제거 가능성 조건을 베셀 용량을 이용해 설정하고, 분리 가능한 해와 하한해 방법을 통해 고립된 특이점을 가진 기본 해를 구성하며, 특히临계 임계점 $q = \frac{2p}{p+1}$에서 $p$, $q$, $M$ 간의 상호작용이 해의 행동을 결정함을 증명한다.

ABSTRACT

We study properties of positive functions satisfying (E) --$\Delta$u + u p -- M |$ abla$u| q = 0 is a domain $\Omega$ or in R N + when p > 1 and 1 < q < min{p, 2}. We concentrate our research on the solutions of (E) vanishing on the boundary except at one point. This analysis depends on the existence of separable solutions in R N +. We consruct various types of positive solutions with an isolated singularity on the boundary. We also study conditions for the removability of compact boundary sets and the Dirichlet problem associated to (E) with a measure for boundary data.

연구 동기 및 목표

• 다양한 영역 $Ω \subset \mathbb{R}^N$ 또는 $ℝ^N_+$에서 $-\Delta u + u^p - M|\nabla u|^q = 0$의 해에 대해 고립된 경계 특이점의 존재성, 유일성 및 제거 가능성 분석.
• 경계 $∂\Omega$에서 $K \subset \partial\Omega$인 컴acts된 경계 집합이, $\partial\Omega \setminus K$에서 0이 되는 해에 대해 제거 가능한 조건을 규명.
• 분리 가능한 해와 하한해 기법을 활용해 경계에 고립된 특이점을 가진 기본 해를 구성.
• 임계 지수 $q = \frac{2p}{p+1}$에서 매개수 $M$의 역할을 규명하며, 이는 흡수와 반응의 균형이 민감하게 작용하는 지점임.
• 측도 값을 갖는 경계 자료로의 이론 확장과 용량 및 경계 추적 이론의 맥락에서 약한 해를 연구.

제안 방법

• 해의 $u$, $\nabla u$ 및 그 가중치가 있는 $L^p_\rho$ 및 $L^q_\rho$ 공간에서의 적분 가능성 분석을 위해 사전 추정과 비교 원리를 사용.
• 비율 스케일링 변환 $T_\ell[u](x) = \ell^{2/(p-1)}u(\ell x)$를 적용하여 임계 지수를 규명하고, 특히 $q = \frac{2p}{p+1}$에서 흡수와 반응이 균형을 이루는 경우를 식별.
• 포아송 커널과 구형 프로파일을 사용해 하한해를 구성하며, $w_m(x) = m|x|^{-\theta}P_B(x)$ ($\theta = \gamma + 1 - N$)를 활용해 특이해 존재성을 증명.
• 베셀 용량 이론을 활용해 제거 가능한 경계 집합을 특성화하며, 특히 $r \in (\frac{N+1}{N-1}, p)$에서 $\text{cap}_{2/r,r'}^{\partial\Omega}(K) = 0$인 경우를 다룸.
• 측도 경계 자료 $\mu$를 갖는 약한 해를 분포의 관점에서 분석하며, $\zeta \in X(\Omega)$에 대해 $\int_\Omega (-u\Delta\zeta + (|u|^{p-1}u - M|\nabla u|^q)\zeta)\,dx = -\int_{\partial\Omega} \frac{\partial\zeta}{\partial n}\,d\mu$ 를 만족함.
• 반경 방향 분리 가능한 해를 $ℝ^N_+$ 및 $ℝ^N \setminus \{0\}$에서 연구하며, $U(x) = A|x|^{-\alpha}$ 형태로 표현되며, $A$에 대한 다항식 방정식을 만족함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비음성 해에 대해 $-\Delta u + u^p - M|\nabla u|^q = 0$의 해가 $\partial\Omega \setminus \{0\}$에서 0이 되는 경우, 컴팩트한 경계 집합 $K \subset \partial\Omega$가 언제 제거 가능할까?
• RQ2 매개수 $M$은 경계점에서 고립된 특이점을 가진 양의 해의 존재성과 유일성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 고립된 경계 특이점을 가진 기본 해를 명시적으로 구성할 수 있으며, 그 특이점 근처에서의 점근적 행동은 어떠한가?
• RQ4 특히 $M > 0$일 경우 $ℝ^N_+$에서 방정정식의 모든 양의 해에 대해 경계 추적이 잘 정의되는가?
• RQ5 측도 경계 자료를 갖는 딜레르레 문제의 약한 해는 유일한가, 특히 $Ω$에 대해 최소한의 기하학적 가정이 있을 경우에 대해?

주요 결과

• 만약 $p > \frac{N+1}{N-1}$ 이고 $q = \frac{2p}{p+1}$ 이며, $M < m^{**} = (p+1)\left(\frac{(N-1)p - (N+1)}{2p}\right)^{p/(p+1)}$ 이면, $\partial\Omega \setminus \{0\}$에서 0이 되는 모든 비음성 해는 식별적으로 0이어야 한다.
• 만약 $p = \frac{N+1}{N-1}$ 이고 $1 < q < 1 + \frac{1}{N}$ 이면, 동일한 결론이 성립하며, $\partial\Omega \setminus \{0\}$에서 0이 되는 유일한 해는 $u \equiv 0$이다.
• 만약 $1 < q < \frac{2p}{p+1}$ 이고 $r \leq 3$ 이면, $K \subset \partial\Omega$가 $\text{cap}_{2/r,r'}^{\partial\Omega}(K) = 0$ 인 경우, $\partial\Omega \setminus K$에서 0이 되는 모든 해는 0이 된다.
• 임계 임계점 $q = \frac{2p}{p+1}$는 단계 전이를 나타낸다: $q < \frac{2p}{p+1}$ 이면 흡수가 지배하고 해는 $-\Delta u + u^p = 0$의 해와 유사하게 행동하며, $q > \frac{2p}{p+1}$ 이면 반응이 지배하고 해는 $u^p - M|\nabla u|^q = 0$의 분리 가능한 해와 유사하게 행동한다.
• 만약 $q = \frac{2p}{p+1}$ 이고 $ℝ^N \setminus \{0\}$에서 반경 해를 고려할 경우, $p < \frac{N}{N-2}$ 이면 유일한 양의 해가 존재하고, $p > \frac{N}{N-2}$ 이며 $M > m^* = (p+1)\left(\frac{p(N-2) - N}{2p}\right)^{p/(p+1)}$ 이면 두 개의 양의 해가 존재한다.
• 구 $B$에서 $\partial\Omega$의 0에서 접하는 영역에 대해, $w_m(x) = m|x|^{-\theta}P_B(x)$ 형태의 하한해를 구성하며, 작은 $m$에 대해 $w_m$이 하한해임을 보이고, 이를 0으로 확장하면 $\partial\Omega \setminus \{0\}$에서 0이 되는 비음성 하한해를 얻는다. 이는 비교 원리를 통해 특이해 존재성을 증명한다.