[논문 리뷰] Boundary States for Chiral Symmetries in Two Dimensions

Philip Boyle Smith, David Tong|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 03.

Topological Materials and Phenomena참고 문헌 33인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 1+1차원 디рак 페르미온에서 아벨 카이랄 대칭을 보존하는 경계 상태를 구축하며, 페르미온 전하 할당에 따라 경계 중심 임계값과 기본 상태 degeneracy를 명시적인 공식으로 유도한다. 모든 이러한 경계 상태는 (-1)^F 대칭과 관련된 두 유형으로 나뉘며, 이는 짝이 없는 메이저라나 영모드의 존재 여부에 의해 구분되며, 후자 유형은 영모드의 이상성으로 인해 √2의 기본 상태 degeneracy를 나타낸다.

ABSTRACT

Abstract: We study boundary states for Dirac fermions in d = 1 + 1 dimensions that preserve Abelian chiral symmetries, meaning that the left- and right-moving fermions carry different charges. We derive simple expressions, in terms of the fermion charge assignments, for the boundary central charge and for the ground state degeneracy of the system when two different boundary conditions are imposed at either end of an interval. We show that all such boundary states fall into one of two classes, related to SPT phases supported by (−1)F , which are characterised by the existence of an unpaired Majorana zero mode.

연구 동기 및 목표

• 1+1차원 디рак 페르미온 시스템에서 아벨 카이랄 대칭을 보존하는 경계 상태를 분류하기 위해.
• 구간의 양끝에 다른 경계 조건이 적용되었을 때의 기본 상태 degeneracy를 결정하기 위해.
• 메이저라나 영모드가 경계 conformal field theory에서 수행하는 역할과 그 분할 함수에 미치는 영향을 명확히 하기 위해.
• 페르미온 최소 모델에서의 모듈라 비불변성과 비정수 degeneracy 사이의 명백한 모순을 해결하기 위해.

제안 방법

• 경계 conformal field theory에서 이시바시 상태와 카르디 조건을 사용하여 경계 상태를 구성한다.
• 좌우로 이동하는 페르미온을 연결하는 선형 경계 조건을 도입하며, 이를 위상으로 매개변수화한다.
• 경계 상태의 일관성을 확보하기 위해 클러스터링과 카르디-류엘렌 심의 조건을 적용한다.
• 스핀 구조와 모듈라 S행렬을 사용하여 간격 분할 함수를 계산하고 기본 상태 degeneracy를 추출한다.
• 메이저라나 페르미온의 M(4,3) 최소 모델을 분석하여, 단일 메이저라나 영모드가 분할 함수에 √2 기여를 한다는 것을 보여준다.
• 페르미온 전하 할당과 F2 위에서의 행렬의 영공간 차원 수를 이용하여 경계 중심 임계값과 기본 상태 degeneracy에 대한 일반 공식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1+1차원 디рак 페르미온에 대해 좌우로 이동하는 전하가 다를 수 있는 카이랄 U(1) 대칭을 보존하는 경계 상태는 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 구간의 양끝에 서로 다른 경계 조건이 적용되었을 때, 기본 상태 degeneracy는 무엇에 의해 결정되는가?
• RQ3 왜 단일 메이저라나 영모드는 분할 함수에 √2 기여를 하는가? 이는 어떻게 모듈라 비불변성과 일치하는가?
• RQ4 두 가지 다른 경계 상태 유형은 무엇이며, 짝이 없는 메이저라나 영모드의 존재 여부로 어떻게 분류되는가?
• RQ5 (-1)^F 대칭은 경계 상태를 어떻게 분류하며, 1+1차원의 SPT 상과 어떤 관련이 있는가?

주요 결과

• 경계 중심 임계값은 페르미온 전하 할당에 의해 결정되며, F2 위의 행렬의 영공간 차원 수를 포함하는 공식으로 주어진다.
• 양쪽 끝에 동일한 유형의 경계 조건(예: V-V 또는 A-A)과 θ1 = θ2일 경우, 단일 복소 영모드로 인해 기본 상태 degeneracy는 2가 된다.
• 혼합 경계 조건(예: V-A 또는 A-V)의 경우 항상 단일 메이저라나 영모드가 존재하며, 이로 인해 기본 상태 degeneracy는 √2가 된다.
• 두 경계 상태 유형은 짝이 없는 메이저라나 영모드의 존재 여부로 구분되며, 이는 (-1)^F에 의해 보호되는 서로 다른 SPT 상에 해당한다.
• 경계 조건 ψL = ±ψR를 가진 메이저라나 페르미온의 분할 함수에는 영모드에서 기인한 √2 요소가 포함되어 있으며, 이는 이론의 모듈라 비불변성과 일치한다.
• 경계 조건 제약 조건의 모든 정수 해는 페르미온 전하 행렬과 그 스미스 표준형을 이용해 명시적으로 유도된 체적을 가진 격자 Λ[R]를 통해 매개변수화된다.