[논문 리뷰] Boundary-value problem for fractional heat equation involving Caputo-Fabrizio derivative

Nasser Al-Salti, Erkinjon Karimov외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 31.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비특이 핵을 가진 Caputo-Fabrizio 도수 분수 라플라스 연산자를 사용하여 시간 분수 라플라스 열 방정식의 경계값 문제를 연구한다. 변수 분리 기법을 적용하고 문제를 볼테라 적분 방정식으로 환원함으로써, 특정 초깃값 및 경계 조건 하에서 네 가지 다른 경계값 문제에 대해 유일한 해 존재성과 명시적 해를 도출한다. 수렴성은 급수 추정을 통해 증명된다.

ABSTRACT

In this work, we consider a number of boundary-value problems for time-fractional heat equation with the recently introduced Caputo-Fabrizio derivative. Using the method of separation of variables, we prove a unique solvability of the stated problems. Moreover, we have found an explicit solution to certain initial value problem for Caputo-Fabrizio fractional order differential equation by reducing the problem to a Volterra integral equation. Different forms of solution were presented depending on the values of the parameter appeared in the problem.

연구 동기 및 목표

• Caputo-Fabrizio 도수 분수 라플라스 연산자를 포함하는 시간 분수 열 방정식에 대한 분석적 해의 부족 문제를 해결하기 위해.
• 비특이 핵을 가진 분수 열 방정식의 초기 및 경계값 문제의 유일한 해 존재성을 확립하기 위해.
• 문제를 볼테라 적분 방정식으로 환원함으로써 명시적 해를 도출하기 위해.
• 해와 그 도함수의 급수 표현의 수렴성을 검증하기 위해.

제안 방법

• 공간과 시간에 대한 상미분 방정식으로 분수 라플라스 편미분 방정식을 분해하기 위해 변수 분리 기법을 사용한다.
• Caputo-Fabrizio 분수 도수 미분 방정식의 초기값 문제를 제2종 볼테라 적분 방정식으로 환원한다.
• 반복적 방법을 사용하여 볼테라 적분 방정식을 풀고 해의 닫힌 형태 표현을 유도한다.
• 공간에서 코사인 및 사인 항을 포함하는 푸리에 급수 전개를 적용하여 해를 고유함수 기반으로 표현한다.
• $ L^2 $-노름과 코시-슈바르츠 유형 부등식을 사용하여 해와 그 두 번째 공간 도함수의 급수 표현의 수렴성을 추정한다.
• 사용된 이중수직 기저의 완전성에 기반하여 유일성 검증을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Caputo-Fabrizio 분수 도수 미분 방정식의 초기값 문제가 어떤 조건에서 연속적인 유일한 해를 갖는가?
• RQ2 Caputo-Fabrizio 시간 분수 열 방정식을 포함하는 경계값 문제에 대해 명시적 해를 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ3 특히 $ \lambda = \frac{1}{1-\alpha} $일 때, 매개변수 값에 따라 해의 형태는 어떻게 달라지는가?
• RQ4 해와 그 도함수의 무한 급수 표현의 수렴성은 어떻게 확립되는가?
• RQ5 초기 조건 및 경계 조건, 특히 $ g(x,0) = 0 $, $ g(0,t) = g(1,t) $가 해의 정칙성과 유일성 확보에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• $ \lambda \neq \frac{1}{1-\alpha} $ 인 경우, 초기값 문제의 해는 강제함수와 지수 핵을 가지는 커플라션의 가중합으로 이루어진 닫힌 형태 표현을 갖는다.
• $ \lambda = \frac{1}{1-\alpha} $ 인 경우, 해는 특별한 형태를 띠며: $ u(t) = -(1-\alpha)f(t) - \frac{(1-\alpha)^2}{\alpha}f'(t) $ 로 주어지며, 이는 $ f(0) = f'(0) = 0 $ 조건 하에서 유효하다.
• 분수 열 방정식의 경계값 문제에 대한 해는 공간에서의 푸리에 급수로 표현되며, 계수는 볼테라 타입의 적분에 의해 시간에 따라 변한다.
• $ u_{xx}(x,t) $의 급수 표현 수렴성은 $ g(x,t) \in C(\overline{\Omega}) $, $ g(x,0) = 0 $, $ g_t(x,t) \in L_1[0,T] $, 및 $ g_x(x,t) \in L_2[0,1] $ 조건 하에서 증명된다.
• 푸리에 전개에 사용된 이중수직 기저의 완전성에 기반하여 해는 유일하다.
• 추정식 $ |u_{xx}(x,t)| \leq \sum_{k=1}^{\infty} \frac{C_3}{(k\pi)^2} + \|\bar{g_{1k}}(t)\|_{L_2} + \|g_{2k}(t)\|_{L_2} + \|\bar{g_{2k}}(t)\|_{L_2} $ 는 해 급수의 절대적이고 균일한 수렴성을 확인한다.