[논문 리뷰] Bounded Cohomology and Deformation Rigidity in Complex Hyperbolic Geometry

Marc Burger, Alessandra Iozzi|ArXiv.org|2005. 05. 04.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 29인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 컴act한 군에 대한 유계 연속 코homology 이론을 발전시키고, 이를 활용해 복소 하이퍼볼릭 기하학에서 Milnor–Wood 부등식과 전역적 강성 결과를 확립한다. p ≥ 2 또는 격자가 코컴팩트인 경우, SU(p,1)의 격자가 q ≥ p에 대해 SU(q,1)로 비자명하게 변형될 수 없음을 증명하며, 이는 Goldman과 Millson의 이전 결과를 비코컴팩트 경우로 일반화한 것이다. 이는 유계 코homology 기법을 사용하여 달성된다.

ABSTRACT

We develop further basic tools in the theory of continuous bounded cohomology of locally compact groups. We apply this tools to establish a Milnor-Wood type inequality in a very general context and to prove a global rigidity result which was originally announced by the authors with a sketch of a proof using bounded cohomology techniques and then proven by Koziarz and Maubon using harmonic map techniques. As a corollary one obtains that a lattice in SU(p,1) cannot be deformed nontrivially in SU(q,1), if either p is at least 2 or the lattice is cocompact. This generalizes to noncocompact lattices a theorem of Goldman and Millson.

연구 동기 및 목표

• 국소적으로 컴팩트한 군에 대한 유계 연속 코homology의 기초 도구를 개발한다.
• 유계 코homology를 사용하여 일반적인 맥락에서 Milnor–Wood 유형의 부등식을 확립한다.
• SU(p,1)의 격자가 SU(q,1)로 사상될 때의 전역적 강성을 증명하며, Goldman과 Millson의 결과를 비코컴팩트 격자로 확장한다.
• 비교 사상의 이미지에 속하는 클래스들이 국소 대칭 공간에서 유계 닫힌 미분형식으로 표현 가능함을 보인다.

제안 방법

• 국소적으로 컴팩트한 군에 대한 유계 코hom로지에서 섬유화된 곱과 전달 사상 도구를 개발한다.
• 유계 Toledo 사상 도입 및 이와 유계 코homology의 비교 사상 간의 관계를 규명한다.
• 측정 가능한 Cartan 정리를 적용하여 강성 문제를 p = q = 2의 경우로 축소한다.
• 비교 사상과 당김 사상의 인수분해를 통해 군 준동형사상에 의한 유계 클래스의 이미지를 분석한다.
• 양의 함수 β와 쌍대불변 측도 ν를 사용하여 L∞-공간 위에 연속적이고 H-등변적인 호모토피 연산자를 구성한다.
• 쌍대불변 측도에 대한 적분을 통한 전달 사상 도입을 통해 유계 코hom로지 클래스와 불변 미분형식 간의 관계를 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유계 코hom로지 기법을 통해 반단순 리군에 대해 일반적인 맥락에서 Milnor–Wood 부등식을 확립할 수 있는가?
• RQ2 q ≥ p일 때 SU(p,1)의 격자가 어떤 조건에서 SU(q,1)로 비자명하게 변형될 수 있는가?
• RQ3 비교 사상 Hcb•(Γ,R) → HdR•(Γ\X)의 이미지에 속하는 모든 클래스가 국소 대칭 공간 Γ\X에서 유계 닫힌 미분형식으로 표현 가능한가?
• RQ4 이산 군의 유계 코hom로지가 그에 대응하는 국소 대칭 공간의 기하학과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 유계 Toledo 사상은 허미트 대칭 공간에서 유계 코hom로지 클래스를 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• G'에서 연속적인 클래스 중 유계 연속 클래스로 표현 가능한 것의 당김은 국소 대칭 공간 Γ\X에서 유계 닫힌 미분형식으로 표현 가능하다.
• 비교 사상 Hcb•(Γ,R) → HdR•(Γ\X)의 이미지에 속하는 모든 클래스는 Γ\X에서 유계 닫힌 미분형식으로 표현 가능하다.
• p ≥ 2 또는 격자가 코컴팩트인 경우, SU(p,1)의 격자는 q ≥ p에 대해 SU(q,1)로 비자명하게 변형될 수 없으며, 이는 Goldman과 Millson의 결과를 비코컴팩트 격자로 일반화한 것이다.
• SU(p,1) 격자에 대한 비교 사상은 유계 코hom로지를 통해 인수분해되며, Toledo 불변량의 유계성은 강성과 관련이 있다.
• G×(H/Q)n에 값이 있는 연속적이고 H-등변적인 호모토피 연산자가 존재하면, 유계 코호몰로지 맥락에서 당김의 연속성이 보장된다.
• 콤���트 지지 성질을 가진 측도 ν와 함수 β의 구성은 적분을 통한 유계 코호몰로지 클래스의 전달을 가능하게 하며, 연속성과 등변성을 증명한다.