[논문 리뷰] Bounded cohomology with coefficients in uniformly convex Banach spaces

Mladen Bestvina, Kenneth Bromberg외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 06.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 14인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 비정규 초등형 군에서 비자명한 유한 정규 부분군을 갖지 않는 경우, 임의의 영이 아닌 균일하게 볼록한 바나흐 공간을 계수로 가지는 필수적 준호모로지의 공간이 무한차원임을 증명한다. 일반화된 브룩스 유형의 구성과 균일한 볼록성 및 반사성의 성질을 활용하여, 이러한 계수를 갖는 유계 코hom로지가 무한차원의 비자명한 준호모로지 클래스를 포착함을 증명하며, 이는 이전의 $ρ$-정규 표현에서의 결과를 단위 표현의 넓은 범주로 일반화한다.

ABSTRACT

We show that for acylindrically hyperbolic groups $Γ$ (with no nontrivial finite normal subgroups) and arbitrary unitary representation $ρ$ of $Γ$ in a (nonzero) uniformly convex Banach space the vector space $H^2_b(Γ;ρ)$ is infinite dimensional. The result was known for the regular representations on $\ell^p(Γ)$ with $1

연구 동기 및 목표

• 균일하게 볼록한 바나흐 공간 내 단위 표현으로의 고전적 브룩스 구성의 준형상수를 일반화하여 확장한다.
• 초등형 군에 대해 필수적 준호모로지의 무한차원 공간 존재를 확립한다.
• 이전의 $¹$-계수를 갖는 유계 코hom로지 결과를 더 넓은 범위의 바나흐 공간 계수로 일반화한다.
• 균일한 볼록성과 반사성이 필수적 준호모로지의 무한성에 미치는 역할을 규명한다.
• 초등형 군 내에 초등형으로 통합된 자유군의 구조가 이 설정에서 유계 코hom로지의 무한차원성의 근거가 됨을 보여준다.

제안 방법

• 균일하게 볼록한 바나흐 공간으로의 준형상수를 생성하기 위해 브룩스 구성의 준형상수를 일반화한다.
• 바나흐 공간의 균일한 볼록성을 이용하여 특정 준호모로지가 무한대임을 증명함으로써 필수적 준호모로지 공간의 몫에서 비자명성을 보장한다.
• 반사성을 적용하여 이러한 준호모로지가 어떤 코호모로지와도 유계 거리에 있지 않음을 보여, 그 본질적인 성격을 확인한다.
• 다만-기르다-오신 및 오신의 결과를 활용하여 초등형 군 내에 초등형으로 통합된 자유군의 존재를 이용한다.
• 자유군 $F_2$와 $F_2 \times K$ 사이의 $ρ$-준호모로지 간의 동형을 이용하여, 자유군에서의 무한차원성 결과를 더 큰 군으로 이행한다.
• 헐과 오신의 정리에 따라 초등형으로 통합된 부분군에서의 반대칭 준호모로지가 전체 군으로 확장됨을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 균일하게 볼록한 바나흐 공간 내 단위 표현으로의 브룩스 구성의 준형상수는 일반화될 수 있는가?
• RQ2 균일하게 볼록한 바나흐 공간을 계수로 가지는 초등형 군에 대해 필수적 준호모로지의 공간은 무한차원인가?
• RQ3 균일한 볼록성과 반사성이 준호모로지의 비자명성과 본질성 확보에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 초등형 군 내에 초등형으로 통합된 자유군이 존재할 경우, 이러한 계수를 갖는 유계 코호모로지가 무한차원이 되는가?
• RQ5 유한 정규 부분군은 균일하게 볼록한 바나흐 공간을 계수로 가지는 유계 코호모로지에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 모든 영이 아닌 균일하게 볼록한 바나흐 공간 $E$에 대해, 자유군 $F_2$의 임의의 단위 표현 $\rho$에 대해 공간 $\widetilde{QC}(F_2;\rho)$는 무한차원이다.
• $\widetilde{QC}(F_2;\rho)$의 무한차원성은 무한대이며, 어떤 코호모로지와도 유계 거리에 있지 않은 일반화된 브룩스 유형 준호모로지에 의해 확립된다.
• 구성된 준호모로지의 무한대임을 증명하는 데 균일한 볼록성이 필수적임을 레미마 3.4에서 보여준다.
• 반사성은 코호모로지에 의한 유계 근사가 불가능함을 제거하기 위해 사용되며, 레미마 3.6에서 보여진다.
• 비자명한 유한 정규 부분군을 갖지 않는 초등형 군 $G$에 대해, 영이 아닌 균일하게 볼록한 바나흐 공간에서의 임의의 단위 표현 $\rho$에 대해 $\dim\widetilde{QC}(G;\rho) = \infty$가 성립한다.
• 표현이 부분군에 대해 고정하는 영이 아닌 벡터를 갖는 조건 하에서, 유한 정규 부분군을 가진 군으로 결과가 확장된다.