[논문 리뷰] Bounded geometry and leaves

Jesús A. Álvarez López, Ramón Barral Lijó|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 09.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 28인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 유계 기하학을 갖는 완비이고 연결된 리만다이만만이 유계 리만다이만 폴로노미케이션 공간 안에서 평탄한 호로노미를 갖는 리만다이만 폴로노미케이션으로 등각적으로 통합될 수 있음을 증명한다. 저자들은 분리 가능한 힐버트 공간으로의 점을 갖는 매입의 $C^\infty$ 수렴 수열을 사용하여 보편 공간 $\overline{\mathcal{M}}^\infty_{*,\text{imm}}(n)$을 구성하고, 그 위상이 폴란드 위상임을 증명하며 폐포의 컴팩턴스를 보이며, 정규화 지ap $\hat{\imath}_{M,f}$ 의 이미지가 컴팩트 폴로노미케이션 부분공간 내에서 평탄한 호로노미를 갖는 리만다이만 폴로노미케이션의 리브로 작용함을 보여, 따라서 유계 기하학을 갖는 다이만만의 리브로의 실현에 관한 주요 정리를 증명한다.

ABSTRACT

The main theorem states that any complete connected Riemannian manifold of bounded geometry can be isometrically realized as a leaf with trivial holonomy in a compact Riemannian foliated space.

연구 동기 및 목표

• 모든 완비이고 연결된 리만다이만 다이만만이 유계 기하학을 갖는 경우, 컴팩트 리만다이만 폴로노미케이션 공간 내에서 평탄한 호로노미를 갖는 리브로 나타남을 증명하는 것.
• 분리 가능한 힐버트 공간으로의 점을 갖는 매입의 $C^\infty$ 수렴 수열을 사용하여 보편 매개변수 공간 $\overline{\mathcal{M}}^\infty_{*,\text{imm}}(n)$을 구성하는 것.
• 정규화 지압 $\hat{\imath}_{M,f}$ 의 이미지의 폐포가 컴팩트하고 리만다이만 폴로노미케이션 부분공간을 이룬다는 것을 확립하는 것.
• 적절한 매입 $f$ 를 선택함으로써 리브 $\widehat{\imath}_{M,f}(M)$ 의 호로노미가 평탄함을 보이는 것.
• 기하 해석학에서 오랫동안 열려 있던 문제를 해결하기 위해, 유계 기하학 다이만만의 실현 정리에 대해 완전하고 엄밀한 증명을 제공하는 것.

제안 방법

• 완비이고 연결된 리만다이만 $n$-다이만만의 등장류를 $C^\infty$-사상이 분리 가능한 힐버트 공간 $E$ 로 들어가는 것으로 갖는 점을 갖는 등장류의 집합으로 정의한 공간 $b\mathcal{M}^*_*(n)$ 을 정의하며, 점을 갖는 등장류와 그에 따른 메트릭의 추적 등가성에 대해 모odulo 한다.
• 국소 매입 하에서 유계 영역에서 메트릭과 사상의 추적 수렴을 통해 $b\mathcal{M}^*_*(n)$ 에 $C^m$-위상을 도입한다.
• $b\mathcal{M}^*_*(n)$ 에서의 $C^\infty$-수렴 위상이 폴란드 위상임을 증명하여 완비성과 분리 가능성을 확보한다.
• 각 점을 그 $C^\infty$-등가류로 보내는 정규화 지압 $\hat{\imath}_{M,f}: M \to b\mathcal{M}^\infty_{*,\text{imm}}(n)$ 을 구성한다.
• $M$ 이 유계 기하학을 갖는 경우, $b\mathcal{M}^\infty_{*,\text{imm}}(n)$ 내에서 $\overline{\text{Cl}}^\infty(\widehat{\imath}_{M,f}(M))$ 의 폐포가 컴팩트하다는 것을 보인다.
• 리브의 호로노미 군이 평탄함을 확보함으로써, 이미지 $\widehat{\imath}_{M,f}(M)$ 이 컴팩트 폴로노미케이션 부분공간 $\overline{\text{Cl}}^\infty(\widehat{\imath}_{M,f}(M))$ 내에서 평탄한 호로노미를 갖는 리브임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 완비이고 연결된 리만다이만 다이만만이 유계 기하학을 갖는 경우, 컴팩트 리만다이만 폴로노미케이션 공간 내에서 평탄한 호로노미를 갖는 리브로 실현될 수 있는가?
• RQ2 $b\mathcal{M}^\infty_{*,\text{imm}}(n)$ 의 보편 공간에서 $C^\infty$-위상에서 정규화 지압 $\widehat{\imath}_{M,f}$ 의 이미지 폐포가 컴팩트한가?
• RQ3 매입 $f$ 는 리브 $\widehat{\imath}_{M,f}(M)$ 의 호로노미 군이 평탄하도록 선택할 수 있는가?
• RQ4 유계 기하학을 갖는 그래프의 카일리 그래프에 대해 유한한 값의 장식이 존재하는가? 이에 따라 폐포 내 모든 이미지의 자동형군이 평탄한가?
• RQ5 보편 공간 $b\mathcal{M}^\infty_{*,\text{imm}}(n)$ 에 $C^\infty$-폴로노미케이션 구조를 부여할 수 있는가? 이 경우 정규화 지압 $\widehat{\imath}_{M,f}$ 의 이미지는 리브로 작용하는가?

주요 결과

• $b\mathcal{M}^*_*(n)$ 에서의 $C^\infty$-수렴 위상은 폴란드 위상임을 보여, 완비성과 분리 가능성을 보장하며, 리만다이만 다이만만의 수렴 이론에서 비트리비얼한 결과이다.
• $\overline{\text{Cl}}^\infty(\widehat{\imath}_{M,f}(M))$ 가 $b\mathcal{M}^\infty_{*,\text{imm}}(n)$ 내에서 컴팩트함은 다이만만 $M$ 이 유계 기하학을 갖는 경우에 한하여 성립한다.
• $\widehat{\imath}_{M,f}(M)$ 는 $b\mathcal{M}^\infty_{*,\text{imm}}(n)$ 의 컴팩트 리만다이만 폴로노미케이션 부분공간에 등각적으로 통합되며, 유도된 폴로노미케이션 구조를 갖는다.
• 매입 $f$ 가 $\text{Iso}(N,h) = \{\text{id}\}$ 를 만족시키는 경우, 리브 $\widehat{\imath}_{M,f}(M)$ 의 호로노미가 평탄함을 보장할 수 있다.
• 주요 정리가 증명되었다: 모든 완비이고 연결된 리만다이만 다이만만이 유계 기하학을 갖는 경우, 컴팩트 리만다이만 폴로노미케이션 공간 내에서 평탄한 호로노미를 갖는 리브로 등각적으로 실현된다.
• 이 구성은 보편적이며, $M$ 이 $C^\infty$-매입 $f$ 를 통해 힐버트 공간에 통합되며, 미분계수가 유계이고 체적 형식이 0이 아님을 보장함으로써, 이미지가 보편 공간 내에서 잘 정의된 리브로 작용함을 보장한다.