[논문 리뷰] Bounded homeomorphisms of the open annulus

David Richeson, Jim Wiseman|ArXiv.org|2002. 09. 23.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 콪린카르-버크호프 정리를 열린 앙귤루스의 유계 호메오모르피즘으로 일반화하며, 비틀림 조건과 연결된 비이완 집합 조건을 만족할 경우 고정점이 존재함을 증명한다. 비콤팩트 공간 위의 유계 사상에 대한 고정점 정리들을 수립하고, 유리수 회전수를 통해 주기점의 존재를 보이며, 유니버설 커버를 이용한 리프트 동역학과 회전수를 통해 콤팩트에서 비콤팩트로의 결과를 확장한다.

ABSTRACT

We prove a generalization of the Poincaré-Birkhoff theorem for the open annulus showing that if a homeomorphism satisfies a certain twist condition and the nonwandering set is connected, then there is a fixed point. Our main focus is the study of bounded homeomorphisms of the open annulus. We prove a fixed point theorem for bounded homeomorphisms and study the special case of those homeomorphisms possessing at most one fixed point. Lastly we use the existence of rational rotation numbers to prove the existence of periodic orbits.

연구 동기 및 목표

• 콤팩트성 조건이 성립하지 않는 열린 앙귤루스의 유계 호메오모르피즘으로 콝린카르-버크호프 정리를 확장하는 것.
• 특히 측도 보존이 불가능한 비콤팩트 공간 위의 유계 사상에 대한 고정점 정리 수립, 특히 열린 앙귤루스에서의 적용.
• 유계 호메오모르피즘에 대해 고정점이 최대 한 개 이하일 경우의 동역학적 성질 분석 및 특성 기술.
• 유리수 회전수를 통한 주기 궤도 존재성 증명을 통해 프랭크스의 결과를 열린 앙귤루스 위의 유계 사상으로 확장하는 것.
• 폐구역 앙귤루스의 결과를 열린 앙귤루스로 통합하기 위해 폐구역 앙귤루스 사상의 유계 열린 앙귤루스로의 확장을 통해 전역 수축집합을 이용한 일반화.

제안 방법

• 유니버설 커버 $\tilde{A} = \mathbb{R} \times I$ 상에서 리프트 동역학을 사용하여 $\rho(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}(\tilde{f}^n(y) - y)_1 \mod 1$ 의 극한을 통해 회전수를 정의한다.
• 모든 $x$에 대해 $\omega(x) \subset W$ 를 만족하는 향후 불변인 유계 창문 $W$ 의 존재를 통해 유계 호메오모르피즘을 정의한다.
• 모순을 통한 고정점 존재성 증명: 고정점이 없다면 $\tilde{f}^n(y)_1 \to \pm\infty$ 이며, 이는 $\tilde{\Lambda} = \pi^{-1}(\omega(\pi(x)))$ 상에서 균일하게 성립하며, 이는 비틀림 조건과 모순된다.
• 비틀림 조건과 연결된 비이완 집합 조건을 적용하여, 회전수 극한에서 $+\infty$ 와 $-\infty$ 의 발산을 모두 배제한다.
• 주기점 존재성을 고정점 문제로 환원하기 위해 $T(x,y) = (x+1,y)$ 의 이동 리프트를 사용하고, $\tilde{g} = T^{-p} \circ \tilde{f}^q$ 를 고려한다.
• 작은 이웃 영역을 추가하여 폐구역 앙귤루스의 유계 호메오모르피즘을 열린 앙귤루스로 확장함으로써 동역학을 유지하고 새로운 주기점을 피한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 열린 앙귤루스의 유계 호메오모르피즘이 어떤 조건에서 고정점을 가질 수 있는가?
• RQ2 측도 보존이 실패하는 비콤팩트 설정에서 콕린카르-버크호프 정리를 일반화할 수 있는가?
• RQ3 최대 한 개의 고정점만을 가진 유계 호메오모르피즘의 동역학적 성질은 무엇인가?
• RQ4 유계 앙귤루스 호메오모르피즘에서 유리수 회전수를 가진 점이 존재할 경우, 동일한 회전수를 가진 주기점이 보장되는가?
• RQ5 비콤팩트 앙귤루스 동역학에서 유계성과 향후 불변성 조건 하에서 회전수의 행동은 어떻게 되는가?

주요 결과

• 열린 앙귤루스의 유계 호메오모르피즘이 비틀림 조건과 연결된 비이완 집합 조건을 만족할 경우, 최소한 하나의 고정점이 존재한다.
• 비콤팩트 공간 위의 유계 호메오모르피즘은 르베그 측도를 보존할 수 없으며, 전역 수축집합을 가짐을 보여준다.
• 열린 또는 폐구역 앙귤루스에서 항등사상과 동치인 방향을 유지하는 유계 호메오모르피즘에 대해, 정규화된 이동의 liminf와 limsup가 유리수 $p/q$ 를 포함한다면, 회전수 $p/q$ 를 가진 주기점이 존재한다.
• 어떤 점의 유리수 회전수 존재성은, 심지어 열린 앙귤루스에서도 동일한 회전수를 가진 주기점의 존재를 보장한다.
• 폐구역 앙귤루스의 결과는 지도를 열린 앙귤루스 이웃 영역으로 확장함으로써 유계 호메오모르피즘으로 확장함으로써 복원된다. 이 과정에서 주기점은 유지된다.
• $\tilde{f}$ 가 고정점을 가지 않는다면, $\tilde{f}^n(y)_1 \to \pm\infty$ 는 $\omega$-극한 집합 상에서 균일하게 성립하며, 이는 비이완 집합이 연결되어 있을 경우 비틀림 조건과 모순된다.