[논문 리뷰] Boundedness of solutions in impulsive Duffing equations with polynomial potentials and $C^{1}$ time dependent coefficients

Yanmin Niu, Xiong Li|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 18.

Nonlinear Differential Equations Analysis참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 1주기적인 충격 효과와 다항형 잠재력, $C^1$ 시간에 의존하는 계수를 가진 충격 Duffing 방정식의 해의 유계성을 확립한다. 변환된 해밀토니안 체계에 대규모 비틀림 정리(대규모 비틀림 정리)를 적용하여 원과 미분동형인 큰 불변 곡선이 존재함을 증명함으로써, 이 곡선들이 해를 둘러싸고 유계성과 준주기성을 보장한다. 이는 $t_2 - t_1 \neq \frac{1}{2}$일 때 성립한다. 본 결과는 충격이 존재하는 상황에서 이전의 유계성 정리들을 더 낮은 연속성 조건을 가진 계수로 확장한다.

ABSTRACT

In this paper, we are concerned with the impulsive Duffing equation $$ x''+x^{2n+1}+\sum_{i=0}^{2n}x^{i}p_{i}(t)=0,\ t eq t_{j}, $$ with impulsive effects $x(t_{j}+)=x(t_{j}-),\ x'(t_{j}+)=-x'(t_{j}-),\ j=\pm1,\pm2,\cdots$, where the time dependent coefficients $p_i(t)\in C^1(\mathbb{S}^1)\ (n+1\leq i\leq 2n)$ and $p_i(t)\in C^0(\mathbb{S}^1)\ (0\leq i\leq n)$ with $\mathbb{S}^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$. If impulsive times are 1-periodic and $t_{2}-t_{1} eq\frac{1}{2}$ for $0< t_{1}

연구 동기 및 목표

• 다항형 비선형성과 시간에 의존하는 계수를 가진 충격 Duffing 방정식에서 해의 유계성을 조사한다.
• 특히 고차항에 대해 더 약한 연속성 조건을 가정할 때 이전의 유계성 결과를 확장한다.
• 1주기적이고 비대칭적인 간격($t_2 - t_1 \neq \frac{1}{2}$)을 가진 충격 효과가 해의 역학적 행동에 미치는 영향을 분석한다.
• 위상 공간에서의 불변 곡선을 통해 준주기적 해의 존재를 확립한다.

제안 방법

• 심플렉틱 좌표변환을 이용해 충격 Duffing 방정식을 해밀토니안 체계로 변환한다.
• 흐름의 시간-1 사상에 대해 최근에 확립된 대규모 비틀림 정리(Li, Liu, Sun에 의해)를 적용하여 원과 미분동형인 큰 불변 곡선을 구성한다.
• 충격 시간의 대칭성과 주기성($t_{j+2} = t_j + 1$)을 이용하여 비틀림 사상이 잘 정의되고 필요한 비틀림 조건을 만족함을 보장한다.
• 불변 곡선이 무한히 연장되고 원점을 둘러싸며, 모든 해가 내부에 포함됨을 증명한다.
• 셸 함수 $\Psi(\omega t, t)$가 주파수 $(1, \omega)$를 가진 준주기적임을 보여, 해의 준주기성을 확립한다.
• 반복 사상 $P^m$에 대해 Poincaré-Birkhoff 고정점 정리를 적용하여 임의의 최소 주기 $q$를 가진 주기적 해의 존재를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 계수 $p_i(t)$가 어떤 조건을 만족할 경우 충격 Duffing 방정식이 오직 유계성 해만을 갖는가?
• RQ2 1주기적 시간 간격과 비대칭 간격($t_2 - t_1 \neq \frac{1}{2}$)을 가진 충격 효과가 해의 유계성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 $C^1$-연속적인 고차항 계수와 연속적인 저차항 계수를 가진 충격 Duffing 방정식에서 준주기적 해를 보장할 수 있는가?
• RQ4 계수의 연속성 수준이 충격 시스템에서 해의 유계성에 어느 정도 영향을 미치는가?

주요 결과

• 모든 해가 $p_i(t) \in C^1(\mathbb{S}^1)$ 이며 $n+1 \leq i \leq 2n$ 이고, $p_i(t) \in C^0(\mathbb{S}^1)$ 이며 $0 \leq i \leq n$ 이며, $t_2 - t_1 \neq \frac{1}{2}$ 인 1주기적 충격 조건 하에서 유계적이다.
• 위상 공간에 원과 미분동형이며 무한히 연장되는 큰 불변 곡선이 존재하며, 이 곡선들이 모든 해를 내부에 둘러싸고 있다.
• 이 불변 곡선 위에서 시작하는 해는 충격으로 인한 조각적 연속성에도 불구하고 주파수 $(1, \omega)$를 가진 준주기적이다.
• 흐름의 시간-1 사상은 비틀림 사상의 구조를 가지며, 이는 대규모 비틀림 정리를 적용하여 유계성을 증명할 수 있음을 의미한다.
• 모든 정수 $q \geq 1$에 대해 최소 주기 $q$를 가진 주기적 해가 존재하며, 이는 $P^m$에 대해 Poincaré-Birkhoff 정리를 적용하여 증명된다.
• 결과적으로, 이전에 요구되었던 것보다 더 낮은 연속성 조건 하에서도 유계성이 유지됨을 보여준다. 이는 충격 항이 존재하는 상황에서도 성립한다.