[논문 리뷰] Bounding $\chi$ by a fraction of $\Delta$ for graphs without large cliques

Marthe Bonamy, Tom Kelly외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 02.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 14인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 큰 클리크를 가지지 않는 그래프에 대해 탐욕적 색칠 경계에 대한 선형 개선을 확립한다. 즉, 최대 차수 ∆이고 클리크 크기가 ω가 아닌 그래프에 대해 리스트-색칠 수 χℓ(G)가 O(∆ / √(ln ω / ln ∆))임을 증명한다. 이 결과는 각 정점의 가용 색상 수가 그 정점의 차수와 이웃의 클리크 구조에 따라 결정되는 국소적 색칠 조건을 통해 달성되며, Johansson와 Reed의 이전 결과를 통합하고 강화하며, 특히 큰 ∆에 대해 선형 개선이 가능하다는 추측을 확인한다.

ABSTRACT

The greedy coloring algorithm shows that a graph of maximum degree at most $\Delta$ has chromatic number at most $\Delta + 1$, and this is tight for cliques. Much attention has been devoted to improving this "greedy bound" for graphs without large cliques. Brooks famously proved that this bound can be improved by one if $\Delta \geq 3$ and the graph contains no clique of size $\Delta + 1$. Reed's Conjecture states that the "greedy bound" can be improved by $k$ if the graph contains no clique of size $\Delta + 1 - 2k$. Johansson proved that the "greedy bound" can be improved by a factor of $\Omega(\ln(\Delta)^{-1})$ or $\Omega\left(\frac{\ln(\ln(\Delta))}{\ln(\Delta)} ight)$ for graphs with no triangles or no cliques of any fixed size, respectively. Notably missing is a $ extit{linear}$ improvement on the "greedy bound" for graphs without large cliques. In this paper, we prove that for sufficiently large $\Delta$, if $G$ is a graph with maximum degree at most $\Delta$ and no clique of size $\omega$, then $$\chi(G) \leq 72\Delta\sqrt{\frac{\ln(\omega)}{\ln(\Delta)}}.$$ This implies that for sufficiently large $\Delta$, if $\omega^{(72c)^2} \leq \Delta$ then $\chi(G) \leq \Delta/c$. This bound actually holds for the list-chromatic and even the correspondence-chromatic number (also known as the DP-chromatic number). In fact, we prove what we call a "local version" of it, a result implying the existence of a coloring when the number of available colors for each vertex depends on local parameters, like the degree and the clique number of its neighborhood. Our result simultaneously implies the linear improvement over the "greedy bound" and the two aforementioned results of Johansson.

연구 동기 및 목표

• 크기가 큰 클리크를 가지지 않는 그래프에서 탐욕적 경계가 선형 인자로 개선될 수 있는지 여부를 해결하기 위해.
• 삼각형을 포함하지 않거나 H-무효인 그래프에 대해 Johansson가 이전에 확립한 결과들을 통합하고 강화하기 위해.
• 정점의 차수와 이웃의 클리크 크기에 따라 가용 색상 수가 결정되는 국소적 색칠 조건을 설정하기 위해.
• 특히 ω = o(∆)이고 ∆가 큰 경우에 대해 탐욕적 경계를 선형적으로 개선할 수 있다는 추측을 확인하기 위해.
• 결과를 리스트-색칠 수와 대응 색칠 수(DP-색칠 수)로 확장하기 위해.

제안 방법

• 각 정점 v에 대해 |L(v)| ≥ 72 deg(v) · min{ log²(χ(v)+1)/ln(deg(v)), ω(v) ln(ln(deg(v)))/ln(deg(v)), √(ln(ω(v))/ln(deg(v))) }개의 가용 색상이 필요하다는 국소적 색칠 조건을 도입한다.
• Ramsey 이론적 경계와 Shearer의 보조정리를 사용하여 이웃 부분그래프 내의 독립집합 크기를 정교하게 분석한다.
• Stirling의 근사와 로그 부등식을 활용하여 독립집합의 수를 유계화하고 색상 가용성을 보장한다.
• 확률적 방법과 반복적인 색상 기각 기법을 사용하여 국소 조건 하에서 유효한 색칠이 존재함을 보인다.
• 크기가 큰 클리크를 포함하지 않는 그래프에서 독립집합 하한을 보장하는 Molloy와 Bernshteyn의 결과를 활용한다.
• 유도된 국소 조건 하에서 L-색칠 가능성을 보장하는 Theorem 1.13을 통해 주요 결과를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 크기가 큰 클리크를 가지지 않는 그래프에서 탐욕적 경계 ∆+1이 선형 인자로 개선될 수 있는가?
• RQ2 크기가 ω인 클리프가 없는 그래프에 대해 리스트-색칠 수에 대해 O(∆ / √(ln ω / ln ∆))로 스케일링되는 균일한 경계가 존재하는가?
• RQ3 Johansson의 삼각형을 포함하지 않는 그래프 및 H-무효 그래프에 대한 경계들이 하나의 국소적 색칠 조건 아래 통합되고 일반화될 수 있는가?
• RQ4 대응 색칠 수(DP-색칠 수)도 이 개선된 경계를 만족하는가?
• RQ5 f(c)의 최적 가능한 함수는 무엇인가? ω ≤ ∆^{1/f(c)}이면 항상 χℓ(G) ≤ ∆/c임을 보장할 수 있다.

주요 결과

• 최대 차수 ∆이고 클리크 크기가 ω가 아닌 그래프에 대해 리스트-색칠 수 χℓ(G)는 O(∆ / √(ln ω / ln ∆))로 유계화된다.
• 충분히 큰 ∆에 대해, ω ≤ (∆^{1/(72c)^2})이면 χℓ(G) ≤ ∆/c임을 보여주며, 이는 탐욕적 경계에 대한 선형 개선을 확인한다.
• 이 경계는 색칠 수뿐 아니라 리스트-색칠 수와 대응 색칠 수(DP-색칠 수)에도 적용된다.
• 국소적 색칠 조건이 충분함을 증명하였다: 각 정점 v는 그 이웃의 색칠 수, 클리크 크기, 차수를 포함한 세 항목의 최소값을 72 deg(v) 배로 가져야 한다.
• 이 결과는 Johansson의 경계를 통합하고 강화한다: 삼각형을 포함하지 않는 그래프에 대해 O(∆ / ln ∆) 경계를 복원하고, H-무효 그래프에 대해 O(∆ ln ln ∆ / ln ∆) 경계를 복원한다.
• 질문 1.5에서 f(c)의 하한을 제공하며, 정수 c ≥ 3에 대해 f(c) ≥ c/2 + 1임을 라미지 수 구성에 기반하여 보여준다.