[논문 리뷰] Bounding extensions for finite groups and Frobenius kernels

Christopher P. Bendel, Daniel K. Nakano외 4명|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 30.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 18인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 대수적으로 닫힌 체의 양의 특성에서 단순하고 단순 연결된 대수적 군 $G$ 의 엄격한 자기형사 $σ$ 를 갖는 유한 부류의 리 군 $G(\sigma)$ 와 그 프로베니우스 핵 $G_\sigma$ 의 코homology 및 카르탕 불변량에 대해 특성에 의존하지 않는 균일한 상계를 확립한다. 이러한 상계는 뿌리계 $\Phi$ 와 $σ$ 의 높이에만 의존하며, 히스의 질문에 대해 강력한 긍정적 답변을 제공한다.

ABSTRACT

Let G be a simple, simply connected algebraic group defined over an algebraically closed field k of positive characteristic p. Let σ:G->G be a strict endomorphism (i. e., the subgroup G(σ) of σ-fixed points is finite). Also, let G_σ be the scheme-theoretic kernel of σ, an infinitesimal subgroup of G. This paper shows that the degree m cohomology H^m(G(σ),L) of any irreducible kG(σ)-module L is bounded by a constant depending on the root system Φ of G and the integer m. A similar result holds for the degree m cohomology of G_σ. These bounds are actually established for the degree m extension groups Ext^m_{G(σ)}(L,L') between irreducible kG(σ)-modules L and L', with again a similar result holding for G_σ. In these Ext^m results, of interest in their own right, the bounds depend also on L, or, more precisely, on length of the p-adic expansion of the highest weight associated to L. All bounds are, nevertheless, independent of the characteristic p. These results extend earlier work of Parshall and Scott for rational representations of algebraic groups G. We also show that one can find bounds independent of the prime for the Cartan invariants of G(σ) and G_σ, and even for the lengths of the underlying PIMs. These bounds, which depend only on the root system of G and the "height" of σ, provide in a strong way an affirmative answer to a question of Hiss, for the special case of finite groups G(σ) of Lie type in the defining characteristic.

연구 동기 및 목표

• 유한 부류의 리 군 $G(\sigma)$ 와 그의 임의의 기약 $kG(\sigma)$-모듈 $L$ 에 대한 $m$-번째 코homology $\operatorname{H}^m(G(\sigma), L)$ 에 대해 특성에 의존하지 않는 균일한 상계를 확립하는 것.
• 파라셜과 스코트의 유리형 표현에 대한 이전 결과를 정의 특성에서의 부류의 리 군의 설정으로 확장하는 것.
• $G(\sigma)$ 와 $G_\sigma$ 의 카르탕 불변량 및 PIM 길이가 소수 $p$ 에 독립적으로 유계임을 증명하는 것.
• 히스의 질문의 특수한 경우를 해결하는 것 — 즉, 부류의 리 군에 대해 카르탕 불변량의 균일한 상계가 존재하는지 여부에 관한 것.

제안 방법

• 대수적 군 $G$ 의 엄격한 자기형사 $\sigma$ 를 사용하여 유한 군 $G(\sigma)$ 와 무한소 핵 $G_\sigma$ 를 정의하는 것.
• $G_r$-모듈 이론과 스텐베르크 모듈을 응용하여 프로젝티브 커버와 구성 인자들을 분석하는 것.
• 텐서곱의 $G$-구성 인자인 $L(\mu_0) \otimes L(\mu_1)^{(\sigma)}$ 의 구조를 활용하여 $G(\sigma)$-구성 인자를 유계로 제한하는 것.
• $p^r$-제한을 통한 반복적인 무게 축소를 통해 $G(\sigma)$-구성 인자의 수를 PIM 내에서 제어하는 것.
• Lemma 4.1.1 을 사용하여 $\mu_1 <_Q 2\rho$ 인 경우, $L(\mu_0) \otimes L(\mu_1)$ 의 $G$-구성 인자 수를 $p$ 에 독립적으로 유계로 제한하는 것.
• $G_r$-프로젝티브 모듈의 제한을 $G(\sigma)$ 에서 분석함으로써 $[U_\sigma(\lambda) : L(\mu)|_{G(\sigma)}]$ 에 대한 유계를 확립하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본 특성에서의 부류의 리 군 $G(\sigma)$ 의 기약 모듈에 대한 $m$-번째 코homology 는 소수 $p$ 에 독립적으로 유계가 될 수 있는가?
• RQ2 고정된 뿌리계와 자기형사 높이에 대해, $G(\sigma)$ 와 $G_\sigma$ 의 카르탕 불변량은 모든 소수 $p$ 에 대해 균일하게 유계가 될 수 있는가?
• RQ3 $G(\sigma)$ 의 프로젝티브 분해 불가 모듈(PIM)의 길이는 소수 $p$ 에 독립적으로 유계가 될 수 있는가?
• RQ4 기본 특성에서의 $G_r$-프로젝티브 모듈의 제한에서 유도되는 $G(\sigma)$-구성 인자의 수는 뿌리계와 $σ$ 의 높이에만 의존하는가?

주요 결과

• 임의의 기약 $kG(\sigma)$-모듈 $L$ 에 대한 $m$-번째 코homology $\operatorname{H}^m(G(\sigma), L)$ 는 뿌리계 $\Phi$ 와 $m$ 에만 의존하는 상수에 의해 유계로 제한되며, 이는 소수 $p$ 에 독립적이다.
• 기약 $kG(\sigma)$-모듈 간의 $m$-번째 확장군 $\operatorname{Ext}^m_{G(\sigma)}(L, L')$ 는 뿌리계 $\Phi$, $m$, 그리고 $L$ 의 최고 무게의 $p$-adic 길이에 의존하는 상수에 의해 유계로 제한되며, 여전히 소수 $p$ 에 독립적이다.
• $G(\sigma)$ 와 $G_\sigma$ 의 카르탕 불변량은 모든 소수 $p$ 에 대해 균일하게 유계이며, 이 상한은 뿌리계 $\Phi$ 와 $σ$ 의 높이 $r$ 에만 의존한다.
• $G(\sigma)$ 의 임의의 프로젝티브 분해 불가 모듈(PIM)의 구성 인자 길이는 소수 $p$ 에 독립적인 상수 $k'(\Phi, r)$ 에 의해 유계로 제한된다.
• 단일 $G$-구성 인자가 하나의 $G_r$-프로젝티브 모듈에서 기인하는 $G(\sigma)$-구성 인자의 수는 $f(\Phi, r)^{2(h-1)}$ 에 의해 유계로 제한되며, 이는 PIM 길이에 대한 총 상한을 이끈다.
• 결과적으로, 이 논문은 히스의 질문에 대해 정의 특성에서의 특수한 경우에 대해 균일한 상한이 존재함을 긍정적으로 해결한다.