[논문 리뷰] Bounding extreme values on attractors using sum-of-squares optimization, with application to the Lorenz attractor

David Goluskin|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 25.

Quantum chaos and dynamical systems인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 다항 미분계수계의 글로벌 아트레락터 위에서의 역동적 양의 극단적 값을 구속하기 위한 제곱합 최적화 프레임워크를 제시한다. 예를 들어 로렌츠 아트레락터와 같은 경우이다. 최적화된 다항 림프노프 함수를 통해 흠집이 생긴 집합을 정의함으로써, 상태 변수의 모멘트에 대해 정확도가 3자리 이상인 날카운 계산된 경계를 산출하며, 이는 이전 결과보다 크게 향상된 것이다.

ABSTRACT

We describe methods for bounding extreme values of quantities on global attractors of differential dynamical systems. Such bounds apply, in particular, along every trajectory at sufficiently late times. The methods use Lyapunov functions to find absorbing sets that contain the global attractor, and the choice of Lyapunov function is optimized based on the quantity whose extreme value one aims to bound. When the governing equations and quantities of interest are polynomials, the optimization constraints require two polynomial expressions to be nonnegative. We enforce nonnegativity by requiring these polynomials to be representable as sums of squares, leading to a convex optimization problem that can be recast as a semidefinite program and solved computationally. This computer assistance makes it possible to construct complicated polynomial Lyapunov functions. We apply these methods to the chaotic Lorenz attractor, bounding extreme values of various moments of the coordinates (x,y,z) using Lyapunov functions of polynomial degrees up to 8. In all cases we obtain bounds that are sharp to three or more significant figures, most of which are much sharper than prior results. Some of the absorbing sets constructed also give precise localizations of the attractor as a whole.

연구 동기 및 목표

• 미분계수계의 글로벌 아트레락터 위에서 양의 극단적 값을 구속하기 위한 계산 방법을 개발하는 것.
• 로렌츠 아트레락터와 같은 혼돈 시스템에 대해 다항 린프노프 함수를 활용하여 기존의 경계를 향상시키는 것.
• 특정 관심 양을 위해 린프노프 함수의 선택을 최적화하여 경계의 날카움을 향상시키는 것.
• 볼록 최적화를 통해 조밀한 흡수 집합을 구성함으로써 글로벌 아트레락터를 정밀하게 국소화하는 것.
• 반정형 프로그래밍을 통해 최대 차수 8까지의 고차수 다항 린프노프 함수를 사용할 수 있도록 하는 것.

제안 방법

• 이 방법은 린프노프 함수를 사용하여 글로벌 아트레락터를 포함하는 흡수 집합을 정의함으로써, 모든 궤적이 결국 이 집합 내부로 들어와 그 안에 머무르도록 보장한다.
• 관심 있는 특정 양(예: (x, y, z)의 모멘트)에 대한 상한 또는 하한을 최소화할 수 있도록 린프노프 함수의 선택을 최적화한다.
• 최적화 제약 조건 내 다항식의 음이 아닌 성질을 제곱합 표현을 통해 강제함으로써 문제를 볼록 반정형 프로그래밍으로 전환한다.
• 해결 가능한 볼록 최적화 문제로 변환된 후 컴퓨터적으로 해결함으로써, 복잡한 고차수 다항 린프노프 함수를 구성할 수 있다.
• 다항 벡터장과 관심 있는 다항 양을 갖는 시스템에 적용 가능하며, 극단적 값을 엄밀하게 경계할 수 있다.
• 볼록 최적화를 통해 조밀한 흡수 집합을 구성함으로써 아트레락터를 국소화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제곱합 최적화를 사용하여 글로벌 아트레락터 위에서 역동적 양의 극단적 값을 날카운 경계로 계산할 수 있는가?
• RQ2 특정 양을 위해 린프노프 함수를 최적화하면 일반적인 구성 방식에 비해 경계의 날카움이 어떻게 향상되는가?
• RQ3 고차수 다항 린프노프 함수는 혼돈 시스템에서 아트레락터의 국소화에 얼마나 기여할 수 있는가?
• RQ4 계산된 경계는 로렌츠 시스템에 대해 이전에 알려진 결과와 정량적으로 어떻게 비교되는가?
• RQ5 조밀한 흡수 집합을 구성함으로써 이 방법은 글로벌 아트레락터를 정밀하게 국소화할 수 있는가?

주요 결과

• 이 방법은 로렌츠 시스템의 좌표 모멘트에 대해 세 자리 이상 정밀도를 갖는 날카운 경계를 계산한다.
• 모든 시험된 모멘트에 대해 이전 연구에서 보고된 결과보다 훨씬 날카운 경계를 제공한다.
• 이 방법을 통해 구성된 흡수 집합은 글로벌 아트레락터를 고도로 정밀하게 국소화하며, 궤적이 존재할 수 있는 영역을 견고한 기하학적 제약으로 제한한다.
• 최대 차수 8까지의 다항 린프노프 함수를 성공적으로 구성하고 사용함으로써, 이 방법의 복잡한 함수에 대한 확장성과 타당성을 입증하였다.
• 제곱합 표현의 사용으로 비볼록 문제 클래스를 볼록 반정형 프로그래밍으로 변환하여 계산의 실현 가능성을 확보하였다.
• 컴퓨터 지원 최적화를 통해 엄밀한 경계를 도출하였으며, 모든 결과는 볼록 프로그래밍을 통해 검증되었다.