[논문 리뷰] Bounding Multivariate Trigonometric Polynomials with Applications to Filter Bank Design

Luke Pfister, Yoram Bresler|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 26.

Digital Filter Design and Implementation참고 문헌 22인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 다변량 삼각다항식의 극값에 대해 효율적이고 샘플 기반의 경계를 제안하며, 일변량 경계를 고차원으로 확장한다. 실삼각다항식의 전역 양성(global positivity)을 확인할 수 있는 하한(lower bound)을 도입하여, 고정밀 재구성(PSNR > 80 dB)을 갖는 2차원, 다레트, 완전 재구성 필터 베이스 설계를 위한 새로운 알고리즘을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The extremal values of multivariate trigonometric polynomials are of interest in fields ranging from control theory to filter design, but finding the extremal values of such a polynomial is generally NP-Hard. In this paper, we develop simple and efficiently computable estimates of the extremal values of a multivariate trigonometric polynomial directly from its samples. We provide an upper bound on the modulus of a complex trigonometric polynomial, and develop upper and lower bounds for real trigonometric polynomials. For a univarite polynomial, these bounds are tighter than existing bounds, and the extension to multivariate polynomials is new. As an application, the lower bound provides a sufficient condition to certify global positivity of a real trigonometric polynomial. We use this condition to motivate a new algorithm for multi-dimensional, multirate, perfect reconstruction filter bank design. We demonstrate our algorithm by designing a 2D perfect reconstruction filter bank.

연구 동기 및 목표

• 다변량 삼각다항식의 계수로부터 극값을 계산하는 NP-완전 문제를 해결하기 위해.
• 보간 또는 격자 탐색을 피하기 위해 샘플 값에서 직접 다변량 삼각다항식의 극값에 대한 계산 효율적인 경계를 개발하기 위해.
• 실삼각다항식의 전역 양성에 대한 충분조건을 새로운 하한을 통해 제공하기 위해.
• FIR 합성 필터를 갖는 다차원, 다레트, 완전 재구성 필터 베이스를 설계하기 위해.
• 제안된 필터 베이스 설계의 실현 가능성과 성능을 2차원에서 고정밀 재구성 성능을 통해 보여주기 위해.

제안 방법

• 복소다항식의 크기의 상한을 샘플 값만을 사용하여 유도한다.
• 샘플 데이터 기반으로 실다항식에 대한 상한과 하한을 모두 개발하며, 더 날카운 유일변량 확장이 가능하도록 한다.
• 하한을 사용하여 다항식이 토러스 전체에서 전역 양성임을 충분조건으로 확인한다.
• 분석 필터의 폴리페이즈 행렬이 합성 및 분석 폴리페이즈 행렬의 곱과 항등행렬 간의 오차에 대해 2차 형식의 페널티를 통해 제약 조건이 설정된 필터 베이스 설계 문제를 수립한다.
• 샘플 기반 경계를 적용하여 2차원 주파수 도메인 전체에서 완전 재구성 조건이 충족됨을 검증하며, 샘플된 점들 외부에서도 제약 조건이 만족됨을 보장한다.
• 패널티 계수 λ를 점차 증가시키며 Adam 알고리즘을 사용하여 필터 계수를 최적화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 보간 또는 격자 탐색 없이 샘플 값에서 다변량 삼각다항식의 극값을 효율적으로 추정할 수 있는가?
• RQ2 실삼각다항식에 대해 더 날카운 하한을 유도하여 전역 양성을 확인할 수 있는가?
• RQ3 이 하한을 활용하여 다차원, 다레트, 완전 재구성 필터 베이스를 설계할 수 있는가?
• RQ4 샘플 제약 조건만을 적용했을 때도 완전 재구성 조건이 전역적으로 유지되는 FIR 합성 필터를 설계할 수 있는가?
• RQ5 실제 영상 처리 작업에서 제안된 필터 베이스 설계의 재구성 성능는 어떠한가?

주요 결과

• 제안된 실삼각다항식에 대한 하한은 전역 양성에 대한 충분조건을 제공하며, 필터 베이스에서 완전 재구성의 인증을 가능하게 한다.
• 이 방법은 바바라 테스트 이미지에서 PSNR가 80 dB를 초과하는 2차원, 다레트 필터 베이스에서 완전 재구성을 달성한다.
• 시각적으로 구조가 뚜렷하지 않은 설계된 FIR 합성 필터는 128²개 주파수 샘플에서 프로베니우스 노름 오차가 10⁻⁷ 이하로 유지되어 거의 완벽한 재구성을 확인한다.
• 최소 노름 합성 필터의 계수는 빠른 지수 감소를 보이며, 좋은 조건수와 FIR 필터에 의한 근사 가능성의 특성을 나타낸다.
• 샘플 기반 경계는 다항식 전체를 평가하거나 큰 차수의 수반정수계획법을 풀 필요 없이 완전 재구성 조건의 전역 검증을 가능하게 한다.
• 이 알고리즘은 2차원 필터 베이스 설계에 효과적으로 스케일링되며, 다차원 신호 처리 응용 분야에서 이 접근의 실현 가능성을 입증한다.