[논문 리뷰] Bounding the torsion in CM elliptic curves

Dipendra Prasad, C. S. Yogananda|ArXiv.org|1998. 10. 19.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 6인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 Deuring의 초특이 소수 이론과 임의의 수체 위의 복소 multiplication(CM) 타원곡선의 이론을 이용하여, CM 타원곡선의 토르션 부분군에 대한 효과적인 경계를 확립한다. 수체 $ K $의 차수 $ d $ 에 대해, $ K \cap k = \mathbb{Q} $ 이면 $ \varphi(M) \leq 2d $ 이고, $ k \subseteq K $ 이면 $ \varphi(M') \leq 2d $ 를 증명한다. 여기서 $ M $ 은 토르션 부분군의 순서이고, $ M' $ 은 $ M $ 의 수정된 루트이다.

ABSTRACT

Merel has shown that the order of torsion subgroup of an elliptic curve over a number field can be bounded in terms of only the degree of the number field. The purpose of this note is to investigate what could be the `right bound'. In this paper we use the result of Deuring on the supersingular primes for a CM elliptic curves to give estimate on the number of torsion points on CM elliptic curves over any number field which depends only linearly with the degree of the number field. This result is also a simple corollary of a result of A. Silverberg bounding the order of torsion elements which was proved using the main theorem of Complex multiplication. We also give a heuristic for hoping that the number of torsion points on any elliptic curve be a bounded linearly with the degree of the number field.

연구 동기 및 목표

• 기하학적 대수적 수론과 Deuring의 초특이 소수에 관한 결과를 이용하여, 수체 위의 CM 타원곡선의 토르션 부분군 순서에 대한 효과적인 경계를 유도하기.
• 초특이 소수 기법과 Chebotarev 밀도 정리를 이용하여 Silverberg의 토르션 경계를 재정립하고 개선하기.
• CM 경우에서의 토르션 경계의 날카움을 조사하고, 체의 차수에 따른 토르션 성장의 통일성에 대한 추측을 제안하기.
• 체의 교차($ K \cap k $)와 토르션 부분군의 구조가 경계를 결정하는 데 미치는 영향을 탐색하기.

제안 방법

• Deuring의 초특이 소수 정리를 적용하여, 타원곡선이 초특이 감소를 보이고 $ p+1 $ 또는 $ p^2+1 $ 이 토르션 순서에 나누어지는 소수 $ p $ 를 식별한다.
• Chebotarev 밀도 정리를 이용하여, CM 체 $ k $ 에서 비분해되고 $ K $ 에서 차수 1 또는 차수 2의 소수를 가진 소수 $ p $ 의 밀도를 추정한다.
• Galois 군의 Frobenius 원소에 대한 군론적 추론을 이용하여 이러한 소수의 밀도에 하한을 설정한다.
• 이러한 소수의 밀도와 $ \pm 1 \mod M $ 과 합동인 소수의 밀도 사이의 부등식을 유도하여 $ \varphi(M) $ 또는 $ \varphi(M') $ 에 대한 경계를 도출한다.
• 특히 $ k = \mathbb{Q}(i), \mathbb{Q}(\omega) $ 인 경우 추가적인 토르션 구조가 발생하므로, $ k \subseteq K $ 인 경우를 고려하기 위해 수정된 루트 $ M' $ 을 도입한다.
• Galois 군의 구조와 복소수 켤리지의 존재를 이용하여, 필요한 분할 및 비분해 조건을 만족하는 Frobenius 원소의 수를 경계한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 차수 $ d $ 의 수체 위에 정의된 CM 타원곡선의 토르션 부분군의 최대 순서는 얼마인가?
• RQ2 체의 교차 $ K \cap k $ 는 토르션 구조와 $ \varphi(M) $ 에 대한 경계에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 복소 multiplication 정리에 의존하지 않고, 초특이 소수와 밀도 추론을 이용하여 토르션 순서의 경계를 향상시킬 수 있는가?
• RQ4 CM 체 $ k $ 가 $ K $ 에 포함되어 있을 경우 수정된 루트 $ M' $ 의 역할은 무엇인가?
• RQ5 모든 $ K $ 에서 정의된 CM 타원곡선의 토르션 점 순서 $ N $ 에 대해 $ \varphi(N) \leq C[K:\mathbb{Q}] $ 를 만족하는 통일된 상수 $ C $ 가 존재하는가?

주요 결과

• 수체 $ K $ 의 차수 $ d $ 와 $ K \cap k = \mathbb{Q} $ 인 경우, 토르션 부분군의 순서 $ M $ 에 대해 $ \varphi(M) \leq 2d $ 가 성립한다.
• 만약 $ k \subseteq K $ 이지만 $ k \neq \mathbb{Q}(i), \mathbb{Q}(\omega) $ 이면, $ M' $ 이 $ M $ 의 루트 유사 수정형으로 정의된 $ M' = \prod l_i^{(j_i + \delta_i)/2} $ 이라 할 때 $ \varphi(M') \leq 2d $ 이다.
• 특히 $ k = \mathbb{Q}(i) $ 또는 $ \mathbb{Q}(\omega) $ 이면, 이 방법은 추가로 $ 2^{d(M)+1} $ 의 요소를 제공한다. 여기서 $ d(M) $ 은 $ M $ 의 서로 다른 소인수의 수이다.
• 체 $ k $ 에서 비분해되고 $ K $ 에서 차수 1의 소수를 가지는 소수 $ p $ 의 밀도는 최소 $ 1/(2d) $ 이상이며, 이는 $ \varphi(M) \leq 2d $ 를 이끌어낸다.
• $ k \subseteq K $ 인 경우, 차수 2의 소수를 가지며 초특이 감소를 보이는 소수의 밀도는 최소 $ 1/d $ 이상이며, 이는 $ \varphi(M') \leq 2d $ 를 이끌어낸다.
• 특히 $ K $ 가 비정규적일 경우 이전에 알려진 것보다 더 날카운 경계를 제공할 수 있으며, 일부 갈로아 확장에서는 $ \varphi(M) \leq 4 $ 와 같은 더 강력한 제약 조건을 도출할 수 있다.