[논문 리뷰] Bounds for orthogonal arrays with repeated rows

Douglas R. Stinson|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 12.

Optimal Experimental Design Methods참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 반복된 행이 $m$번 반복될 때, 정규직교배열의 강도 두에 대한 Plackett-Burman 경계를 분산 기반 증명 기법을 사용하여 $m$ 배로 강화한다. Mukerjee, Qian, 그리고 Wu의 정리에 기반하여 이 결과를 더 높은 강도의 정규직교배열로 일반화하여 반복된 행을 포함하는 배열에 대해 더 날카운 존재 경계를 제공하며, 실험 설계 및 조합적 구성에 응용된다.

ABSTRACT

In this expository paper, we mainly study orthogonal arrays (OAs) of strength two having a row that is repeated $m$ times. It turns out that the Plackett-Burman bound (\cite{PB}) can be strengthened by a factor of $m$ for orthogonal arrays of strength two that contain a row that is repeated $m$ times. This is a consequence of a more general result due to Mukerjee, Qian and Wu \cite{Muk} that applies to orthogonal arrays of arbitrary strength $t$. We examine several proofs of the Plackett-Burman bound and discuss which of these proofs can be strengthened to yield the aforementioned bound for OAs of strength two with repeated rows. We also briefly discuss related bounds for $t$-designs, and OAs of strength $t$, when $t > 2$.

연구 동기 및 목표

• 강도 두를 가진 정규직교배열에서 행이 $m$번 반복될 경우 더 날카운 존재 경계를 확립하기 위해.
• 강도 두에 대한 강화된 Plackett-Burman 경계를 임의의 강도 $t \geq 2$를 가진 정규직교배열으로 일반화하기 위해.
• 기존의 Plackett-Burman 경계 증명 기법 중 어떤 것이 반복된 행을 통합할 수 있도록 수정 가능한지 조사하기 위해.
• 정규직교배열과 균형 불완전 블록 설계(BIBDs) 및 $t$-설계 간의 경계 간 유사성과 유사성을 도출하기 위해.
• 실제 실험 설계 응용에 기반하여 고다중도 행을 포함하는 정규직교배열을 구성하는 데 이론적 근거를 제공하기 위해.

제안 방법

• 반복된 행이 $m$번 포함된 $\mathrm{OA}_\lambda(k,n)$에 대해, 고전적인 분산 방법 증명 기법을 수정하여 반복된 행을 고려한다.
• 비반복된 행에 대해 행 합과 분산을 재가중하여 수정된 부등식을 유도하며, 이로 인해 경계가 $m$ 배로 조정된다.
• Mukerjee, Qian, 그리고 Wu(2003)의 내재된 정규직교배열에 대한 일반화된 결과를 적용하여 강도 $t \geq 2$에 대한 경계를 유도한다.
• 정규직교배열의 Rao 경계를 기반으로 하되, 행이 $m$번 반복될 경우 경계를 $m$ 배로 조정한다.
• Fisher의 부등식, Mann의 부등식, Wilson의 코너 조건을 비교하여 반복된 행에 대한 적응 가능성 평가를 수행한다.
• 특히 반복된 블록을 포함하는 경우 정규직교배열과 $t$-설계의 경계 간 유사성을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 강도 두를 가진 정규직교배열에서 행이 $m$번 반복될 경우 Plackett-Burman 경계를 개선할 수 있는가?
• RQ2 기존의 Plackett-Burman 경계 증명 기법 중 어떤 것이 반복된 행 조건 하에서 강화된 경계를 도출할 수 있도록 수정 가능한가?
• RQ3 강화된 경계는 강도 $t > 2$를 가진 정규직교배열로 일반화될 수 있는가?
• RQ4 반복된 행을 포함하는 정규직교배열의 경계는 BIBDs 및 반복된 블록을 포함하는 $t$-설계의 기존 경계와 어떻게 비교되는가?
• RQ5 실제 실험 설계에서 고다중도 행을 포함하는 정규직교배열을 구성하는 데 이론적 근거는 무엇인가?

주요 결과

• 행이 $m$번 반복된 $\mathrm{OA}_\lambda(k,n)$에 대해, 경계는 $\lambda \geq \frac{m(k(n-1) + 1)}{n^2}$로 강화되며, 원래의 Plackett-Burman 경계보다 $m$ 배로 향상된다.
• 강도 두에 대한 강화된 경계는 비반복된 행의 수가 감소함을 고려한 분산 기반 증명 기법을 통해 도출된다.
• Mukerjee-Qian-Wu 경계를 통해 이 결과는 더 높은 강도의 정규직교배열으로 일반화되며, 행이 $m$번 반복될 경우 Rao 경계가 $m$ 배로 조정된다.
• 강도 $s$를 가진 $t$-설계에서 블록의 다중도가 $m$일 경우, Wilson의 부등식은 $b \geq m\binom{v}{s}$를 유도하며, 이는 BIBD에 대한 Mann의 부등식을 일반화한다.
• Fisher, Mann, Wilson의 증명 기법이 반복된 행/블록의 경우에 적응 가능함을 입증하였으며, Wilson의 방법이 가장 일반적이지만 복잡하다.
• 직접적인 결과로 $m \leq \frac{\lambda n^2}{k(n-1) + 1}$ 경계가 도출되었으며, 이는 주어진 배열에 대해 가능한 최대 반복 횟수를 제공한다.