[논문 리뷰] Bounds for radii of convexity of some $q$-Bessel functions

Halit Orhan, İbrahim Aktaş|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 15.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 15인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 오일러-레일리 부등식과 라귀에르-폴리아 클래스의 성질을 이용하여 잭슨 및 하ahn-엑톤 $q$-베셀 함수의 네 가지 정규화된 형태의 볼록성 반경에 대해 날카로운 하한과 상한을 확립한다. 이 반경들은 관련 함수의 영점에서 유도된 초월 방정식의 해임을 보이며, 고전적 베셀 함수에 대한 결과를 $q$-미적분 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

In the present investigation, by applying two different normalizations of the Jackson and Hahn-Exton $q$-Bessel functions tight lower and upper bounds for the radii of convexity of the same functions are obtained. In addition, it was shown that these radii obtained are solutions of some transcendental equations. The known Euler-Rayleigh inequalities are intensively used in the proof of main results. Also, the Laguerre-Pólya class of real entire functions plays an important role in this work.

연구 동기 및 목표

• 고전적 베셀 함수의 볼록성 반경에 대한 기존 결과를 $q$-베셀 함수로 확장하기 위해.
• 정규화된 잭슨 및 하ahn-엑톤 $q$-베셀 함수의 볼록성 반경에 대해 날카로운 하한과 상한을 유도하기 위해.
• 이 반경들이 $q$-베셀 함수의 영점을 포함하는 특정 초월 방정식의 해임을 보여주기 위해.
• 오일러-레일리 부등식과 라귀에르-폴리아 클래스의 성질을 활용하여 볼록성 반경을 분석하기 위해.
• 기하학적 함수론의 결과를 고전적 함수에서 $q$-특수함수로 일반화하기 위해.

제안 방법

• 함수 $f(0)=0$, $f'(0)=1$ 조건을 만족시키기 위해 잭슨 및 하ahn-엑톤 $q$-베셀 함수를 정규화하여 해석함수의 클래스 $\mathcal{A}$에 속하도록 하기 위해.
• 정규화된 $q$-베셀 함수의 멱급수 계수에 오일러-레일리 부등식을 적용하여 볼록성 반경에 대한 경계를 도출하기 위해.
• 미타그레플레르 전개와 무한곱 표현을 이용하여 정규화된 함수의 도함수를 표현하기 위해.
• 볼록성 반경을 함수 $z(h_{\nu}^{(3)}(z;q))'$의 두 번째 도함수에서 유도된 초월 방정식의 가장 작은 양의 근으로 식별하기 위해.
• 유도된 함수가 실근만을 가지도록 보장하기 위해 라귀에르-폴리아 클래스의 성질을 활용하여 오일러-레일리 부등식을 적용할 수 있도록 하기 위해.
• 급수 계수 일치를 통해 $\nu$와 $q$에 대한 $\sigma_k = \sum_{n\geq 1} \gamma_{\nu,n}^{-k}(q)$의 명시적 표현을 유도하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규화된 잭슨 및 하ahn-엑톤 $q$-베셀 함수의 볼록성 반경에 대한 날카로운 경계는 무엇인가?
• RQ2 오일러-레일리 부등식은 $q$-특수함수에 어떻게 적용되어 볼록성 반경을 추정할 수 있는가?
• RQ3 $q$-베셀 함수의 영점과 그 정규화된 형태의 볼록성 반경 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 라귀에르-폴리아 클래스의 성질은 어떻게 볼록성 반경 경계 유도를 지원하는가?
• RQ5 $q$-베셀 함수의 볼록성 반경은 초월 방정식의 해로 특성화될 수 있는가?

주요 결과

• 볼록성 반경 $r^c(g_{\nu}^{(2)}(z;q))$ 는 부등식 $\sqrt{\frac{(1-q)(1-q^{\nu+1})}{9q}} < r^c(g_{\nu}^{(2)}(z;q)) < \sqrt{\frac{9(q^2-1)(1-q^{\nu+1})(1-q^{\nu+2})}{qY_{\nu}(q)}}$ 를 만족한다.
• 함수 $g_{\nu}^{(3)}(z;q)$ 에 대해서는 $\sqrt{\frac{(1-q)(1-q^{\nu+1})}{9q}} < r^c(g_{\nu}^{(3)}(z;q)) < \sqrt{\frac{9(q^2-1)(1-q^{\nu+1})(1-q^{\nu+2})}{qY_{\nu}(q)}}$ 이다.
• 볼록성 반경 $r^c(h_{\nu}^{(3)}(z;q))$ 는 $\frac{(1-q)(1-q^{\nu+1})}{4q} < r^c(h_{\nu}^{(3)}(z;q)) < \frac{2(q^{\nu+1}-1)(q^{\nu+2}-1)(q^2-1)}{qE_{\nu}(q)}$ 로 유계이다.
• 함수 $h_{\nu}^{(3)}(z;q)$ 의 볼록성 반경은 방정식 $(2-\nu)^2 J_{\nu}^{(3)}(\sqrt{r};q) + (5-2\nu)\sqrt{r} \frac{d}{dr}J_{\nu}^{(3)}(\sqrt{r};q) + r \frac{d^2}{dr^2}J_{\nu}^{(3)}(\sqrt{r};q) = 0$ 의 가장 작은 양의 근이다.
• 오일러-레일리 합 $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$ 는 $\nu$, $q$, 그리고 보조 함수 $E_\nu(q)$, $K_\nu(q)$, $L_\nu(q)$, $T(q)$ 에 대해 명시적으로 계산되었다.
• 유도된 경계는 날카롭고, $q$-베셀 함수의 영점과 그 도함수를 포함하는 초월 방정식의 해임을 보였다.