[논문 리뷰] Bounds for Serre's open image theorem

David Zywina|arXiv (Cornell University)|2011. 02. 23.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 15인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 ℚ 위의 비-CM 타원곡선과 관련된 갈루아 표현의 이미지의 지표에 대한 처음으로 일반적인 상한을 확립하며, j-불변량의 로그 높이, 도수 및 악성 소수의 수에 대해 다항식으로 유계임을 보여준다. 이러한 상한은 랭-트로터 상수의 평균에 관한 열린 문제를 해결하고 갈루아 이미지 성장에 대한 효과적인 통제를 제공한다.

ABSTRACT

Let E be an elliptic curve over the rationals without complex multiplication. The absolute Galois group of Q acts on the group of torsion points of E, and this action can be expressed in terms of a Galois representation rho_E:Gal(Qbar/Q) o GL_2(Zhat). A renowned theorem of Serre says that the image of rho_E is open, and hence has finite index, in GL_2(Zhat). We give the first general bounds of this index in terms of basic invariants of E. For example, the index can be bounded by a polynomial function of the logarithmic height of the j-invariant of E. As an application of our bounds, we settle an open question on the average of constants arising from the Lang-Trotter conjecture.

연구 동기 및 목표

• 비-CM 타원곡선에 대해 $[\operatorname{GL}_2(\widehat{\mathbb{Z}}) : \rho_E(\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}))]$ 의 효과적이고 일반적인 상한을 제공하는 것. 세르의 원래 정리는 이 지수가 유한하다고만 주장하였다.
• 갈루아 이미지의 크기를 통제하여 타원곡선 전반에 걸친 랭-트로터 상수 $C_{E,r}$ 의 평균을 유계로 둘 수 있는가에 대한 열린 문제를 해결하는 것.
• 세르의 정성적 개방 이미지 정리를 높이 및 도수 불변량을 사용하여 효과적이고 정량적인 형태로 확장하는 것.
• 무조건적 및 GRH 가정 하에서의 상한을 확립하여 효과적인 산술 응용을 위한 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• $\ell$-거듭제곱 타원곡선의 갈루아 이미지의 구조를 이용하여 소수에 대한 곱 공식을 통해 $\operatorname{GL}_2(\widehat{\mathbb{Z}})$ 내의 전반적 이미지에 대한 상한을 구하는 것.
• Mazur, Bilu-Parent, Kraus의 결과를 적용하여 큰 소수에서 $\rho_{E,\ell}$ 의 전성에 대한 통제를 하는 것.
• 상한 $[\operatorname{GL}_2(\widehat{\mathbb{Z}}) : \rho_E(\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}))] \leq C \cdot M^{24}$ 를 사용하며, $M$ 은 도수 및 악성 감소에 따라 정의되는 작은 소수의 곱이다.
• E의 로그 높이 $h(j_E)$ 와 도수 $N$ 을 이용하여 $M$ 과 그에 따른 지수를 다항식으로 유계로 둔다.
• GRH 를 적용하여 로그 인자들을 사용하여 도수에 의존하는 상한을 개선하는 것.
• 상한 $C_{E,r} \leq [\operatorname{GL}_2(\widehat{\mathbb{Z}}) : \rho_E(\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}))] \cdot C_r$ 을 사용하여 지수를 통해 랭-트로터 상수를 통제하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비-CM 타원곡선에 대해 $\mathbb{Q}$ 위에서 갈루아 표현 $\rho_E$ 의 타원곡선의 타원점에서의 이미지 지표는 j-불변량 높이와 도수와 같은 불변량에 대해 효과적으로 유계로 둘 수 있는가?
• RQ2 모든 비-CM 타원곡선에 대해 적용 가능한, 곡선에 독립적인 균일한 지표 상한을 제공할 수 있는가?
• RQ3 갈루아 이미지의 크기는 랭-트로터 상수 $C_{E,r}$ 의 평균에 어떻게 영향을 주며, 이를 효과적으로 통제할 수 있는가?
• RQ4 일반화된 리만 가설 하에서 지표 상한에 어떤 개선이 가능한가?
• RQ5 지수에 대한 효과적인 상한을 사용하여 타원곡선의 가중치 가중치에서의 랭-트로터 상수의 평균 행동을 해결할 수 있는가?

주요 결과

• 지수 $[\operatorname{GL}_2(\widehat{\mathbb{Z}}) : \rho_E(\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}))]$ 는 $\max\{1, h(j_E)\}$ 에 대한 다항식으로 유계이며, 절대 상수 $C$ 와 지수 $\gamma$ 를 포함하여 j-불변량 높이에 의한 효과적인 통제를 입증한다.
• 무조건적으로, 지수는 $C \cdot (68N(1 + \log \log N)^{1/2})^{24\omega(N)}$ 로 유계이며, 여기서 $N$ 은 도수이고 $\omega(N)$ 은 $N$ 의 서로 다른 소인수의 개수이다.
• 일반화된 리만 가설 하에서, 지수는 $\left(C \log N (\log \log 2N)^3\right)^{24\omega(N)}$ 로 유계이며, 도수 의존성에 대한 개선이 이루어진다.
• 이 상한들은 $\mathbb{Q}$ 위의 모든 비-CM 타원곡선에 대해 세르의 개방 이미지 정리에 대한 처음으로 일반적인 효과적인 상한이다.
• 이 상한들은 랭-트로터 상수 $C_{E,r}$ 의 평균이 $C_r$ 으로 수렴하는 속도가 $O(\log^\delta(AB)/\sqrt{\min\{A,B\}})$ 라는 것을 보여주는데, 이는 열린 문제를 해결한다.
• 논문은 비-CM 곡선에 대해 $C_{E,r} \ll_r (\max\{1, h(j_E)\})^\gamma$ 를 확립하며, $\gamma$ 는 절대 상수이며, 이는 효과적인 평균 통제를 가능하게 한다.