[논문 리뷰] Bounds for Small-Error and Zero-Error Quantum Algorithms

Harry Buhrman, Richard Cleve외 2명|ArXiv.org|1999. 04. 26.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 35인용 수 32

한 줄 요약

이 논문은 소규모 및 영오차를 가진 양자 검색 알고리즘에 대해 날카운 경계를 설정하며, 고정밀도 결과를 얻을 때 양자 강화가 고전적 방법을 초월할 수 없음을 보여준다. 단조 함수와 그래프 성질에 대해 다항식 양자-고전적 분리가 존재함을 입증하며, 양자 컴퓨터에서는 평이성 추측이 성립하지 않음을 보이며, 주요 결과로는 별 성질에 대한 $\Omega(n^{3/2})$의 양자 영오차 복잡도와 '최소한 한 개의 간선이 존재'하는 성질에 대한 $O(n)$의 유계오차 복잡도가 포함된다.

ABSTRACT

We present a number of results related to quantum algorithms with small error probability and quantum algorithms that are zero-error. First, we give a tight analysis of the trade-offs between the number of queries of quantum search algorithms, their error probability, the size of the search space, and the number of solutions in this space. Using this, we deduce new lower and upper bounds for quantum versions of amplification problems. Next, we establish nearly optimal quantum-classical separations for the query complexity of monotone functions in the zero-error model (where our quantum zero-error model is defined so as to be robust when the quantum gates are noisy). Also, we present a communication complexity problem related to a total function for which there is a quantum-classical communication complexity gap in the zero-error model. Finally, we prove separations for monotone graph properties in the zero-error and other error models which imply that the evasiveness conjecture for such properties does not hold for quantum computers.

연구 동기 및 목표

• 양자 검색 알고리즘에서 쿼리 수, 오차 확률, 검색 공간 크기, 해의 수 간의 상호 관계를 분석하기.
• 양자 알고리즘이 소규모 오차 확률 알고리즘을 $(0,1-\varepsilon)$ 정확도로 강화하는 데 있어 고전적 방법보다 더 효율적인지 여부를 규명하기.
• 단조 함수와 그래프 성질에 대한 영오차 양자 쿼리 복잡도를 조사하고, 양자 환경에서 평이성 추측의 타당성을 평가하기.
• 단조 함수와 그래프 성질에 대해 영오차 및 유계오차 모델에서 고전적 복잡도와 양자 복잡도 간의 분리를 확립하기.

제안 방법

• 양자 강화의 하한을 증명하기 위해 다항식 방법과 이전 연구의 변형을 사용한다.
• 그로버 알고리즘과 정확한 양자 검색 기법을 적용하여 $(0,q)$-알고리즘을 $(0,1-\varepsilon)$ 정확도로 강화하는 데 상한을 구축한다.
• 노이즈가 있는 양자 게이트에 대해서도 안정성을 유지하는 강건한 영오차 양자 모델을 정의한다.
• 결정 트리와 다항식 차수 기법을 사용하여 단조 그래프 성질을 분석하며, 특히 부울 함수를 나타내는 다항다항식의 차수를 특별히 활용한다.
• 예를 들어 '별을 포함한다' 또는 '최소한 한 개의 간선이 존재한다' 같은 성질에 대해 명시적인 양자 알고리즘을 구성하여 복잡도 격차를 시연한다.
• 양자 쿼리 알고리즘을 다항다항식으로 변환하여 쿼리 복잡도의 하한을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 알고리즘이 $(0,q)$-알고리즘을 $(0,1-\varepsilon)$ 정확도로 강화하는 데 있어 고전적 방법보다 더 효율적인가?
• RQ2 단조 함수에 대해 영오차 양자 알고리즘에 필요한 최적의 쿼리 수는 얼마이며, 고전적 대응체와 비교해보면 어떠한가?
• RQ3 모든 단조 그래프 성질이 모든 입력을 쿼리해야 한다는 평이성 추측이 양자 환경에서 성립하는가?
• RQ4 다항식 차수 하한을 사용하여 그래프 성질에 대한 영오차 양자 쿼리 복잡도에 강력한 하한을 증명할 수 있는가?
• RQ5 '별을 포함한다'와 '최소한 한 개의 간선이 존재한다'는 그래프 성질에 대해 양자 쿼리 복잡도의 날카운 경계는 무엇인가?

주요 결과

• $(0,q)$-알고리즘을 $(0,1-\varepsilon)$ 정확도로 강화하기 위해 필요한 쿼리 수는 $\Theta\left(\sqrt{N}\left(\sqrt{\log(1/\varepsilon)+qN}-\sqrt{qN}\right)\right)$이며, 이는 고정밀도 강화에서 양자 우월성이 없음을 보여준다.
• 일 때 $q = 1/2$이면 오차 $\varepsilon$로의 강화에 $\Theta(\log(1/\varepsilon))$ 쿼리가 필요하며, 이는 고전적 성능과 일치하며 이 영역에서의 양자 가속이 불가능함을 시사한다.
• 영오차 복잡도가 $O(n^{3/2})$인 단조 그래프 성질(별 성질)이 존재하며, 이에 비해 고전적 영오차 복잡도는 $\Omega(n^2)$이므로 다항식 양자-고전적 격차가 존재함을 보여준다.
• 변수 수가 $n(n-1)$인 '다数' 함수에 대해 $Q_E(f) \leq n(n-1) - e(n(n-1)) + 1 < n(n-1)$이며, 이는 정확한 양자 쿼리 복잡도가 변수 수보다 стрictly 작을 수 있음을 보여준다.
• 평이성 추측은 양자 컴퓨터에서는 성립하지 않음: 일부 $P$에 대해 $Q_E(P) < n(n-1)$이며, $Q_0(P) \in O(n^{3/2})$이므로 고전적 평이성과 모순된다.
• 유계오차 양자 알고리즘에 대해 '최소한 한 개의 간선이 존재'하는 성질에 대해 $Q_2(P) \in O(n)$이며, 이에 비해 $D(P) \in \Omega(n^2)$이므로 정사각형 차수의 양자-고전적 격차가 존재함을 입증한다.