[논문 리뷰] Bounds of Zagreb indices and hyper Zagreb indices

Shaohui Wang, Wei Gao외 3명|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 07.

Graph theory and applications참고 문헌 22인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 정점 수, 간선 수, 최소 및 최대 차수, 첫 번째 제그레브 지수와 같은 그래프 파라미터를 사용하여 첫 번째 및 두 번째 초제그레브 지수에 대한 새로운 상한과 하한을 수립한다. 카우치-슈바르츠 부등식과 다이아즈-메트칼프 부등식을 적용하여 날카운 상한을 도출하고 등호 조건을 특성화하며, 등호가 성립하는 것은 정규 그래프일 때에만임을 보여주어 화학적 그래프 이론에서 그래프의 구조적 성질과 위상 지수 행동을 연결한다.

ABSTRACT

The hyper Zagreb index is a kind of extensions of Zagreb index, used for predicting physicochemical properties of organic compounds. Given a graph $G= (V(G), E(G))$, the first hyper-Zagreb index is the sum of the square of edge degree over edge set $E(G)$ and defined as $HM_1(G)=\sum_{e=uv\in E(G)}d(e)^2$, where $d(e)=d(u)+d(v)$ is the edge degree. In this work we define the second hyper-Zagreb index on the adjacent edges as $HM_2(G)=\sum_{e\sim f}d(e)d(f)$, where $e\sim f$ represents the adjacent edges of $G$. By inequalities, we explore some upper and lower bounds of these hyper-Zagreb indices, and provide the relation between Zagreb indices and hyper Zagreb indices.

연구 동기 및 목표

• 기본적인 그래프 파라미터를 사용하여 첫 번째 및 두 번째 초제그레브 지수에 대한 엄밀한 상한과 하한을 수립하기.
• 첫 번째 제그레브 지수를 통해 초제그레브 지수와 제그레브 지수 간의 관계를 탐색하기.
• 유도된 상한에서 등호 조건을 특성화하기, 특히 그래프의 정규성에 초점 맞추기.
• 재정의된 제그레브 지수에 관한 기존 결과를 확장하기 위해 인접한 간선의 차수에 기반한 새로운 두 번째 초제그레브 지수를 도입하고 분석하기.

제안 방법

• 첫 번째 초제그레브 지수를 $ HM_1(G) = \sum_{e=uv \in E(G)} d(e)^2 $ 로 정의하며, 여기서 $ d(e) = d(u) + d(v) $ 이고, 두 번째 초제그레브 지수를 $ HM_2(G) = \sum_{e \sim f} d(e)d(f) $ 로 정의하며, $ e \sim f $ 는 인접한 간선을 의미한다.
• 카우치-슈바르츠 부등식을 적용하여 $ HM_1(G) \geq \frac{M_1(G)^2}{m} $ 라는 상한을 도출하며, 등호는 간선 차수 정규 그래프일 때에만 성립한다.
• 하한 $ 2\delta \leq d(e) \leq 2\triangle $ 을 가진 다이아즈-메트칼프 부등식을 사용하여 $ HM_1(G) \leq 2(\triangle + \delta)M_1(G) - 4m\triangle\delta $ 를 도출하며, 등호는 $ G $ 가 정규 그래프일 때에만 성립한다.
• 공통 정점 하나를 공유하는 간선 쌍의 수인 $ \frac{1}{2}M_1(G) - 2m $ 를 사용하여 $ HM_2(G) $ 에 대한 상한을 수립하고, $ HM_2(G) $ 를 $ M_1(G) $ 과 차수 파라미터에 관련지어 부등식을 적용한다.
• 산산술-기하 평균 부등식을 사용하여 하한 $ HM_2(G) \geq \frac{M_1(G)^3}{2m^2} $ 을 도출하며, 등호는 $ G $ 가 정규일 때에만 성립한다.
• 정리 3과 정리 8의 결과를 조합하여 $ M_1(G) $, $ m $, $ \delta $, $ \triangle $ 에 대한 $ HM_2(G) $ 의 복합 상한을 도출하며, 등호는 정규일 때에만 성립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정점 수 $ n $, 간선 수 $ m $, 최소 차수 $ \delta $, 최대 차수 $ \triangle $ 를 기반으로 첫 번째 초제그레브 지수 $ HM_1(G) $ 에 대한 가장 날카운 상한과 하한은 무엇인가?
• RQ2 두 번째 초제그레브 지수 $ HM_2(G) $ 는 첫 번째 제그레브 지수 $ M_1(G) $ 와 어떻게 관련되어 있으며, 그 극값 상한은 무엇인가?
• RQ3 유도된 상한이 등호로 성립하기 위한 그래프의 구조적 조건은 무엇인가?
• RQ4 차수 파라미터를 포함하는 부등식을 통해 제그레브 지수와 초제그레브 지수 간의 관계를 형식화할 수 있는가?
• RQ5 그래프의 정규성이 초제그레브 지수의 극값을 달성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 첫 번째 초제그레브 지수는 $ \delta^2 \leq \frac{HM_1(G)}{4m} \leq \triangle^2 $ 를 만족하며, 좌측 등호는 $ G $ 가 $ \delta $-정규일 때에만 성립하고, 우측 등호는 $ G $ 가 $ \triangle $-정규일 때에만 성립한다.
• 부등식 $ HM_1(G) \geq \frac{M_1(G)^2}{m} $ 가 성립하며, 등호는 $ G $ 가 간선 차수 정규일 때에만 성립한다.
• 상한 $ HM_1(G) \leq 2(\triangle + \delta)M_1(G) - 4m\triangle\delta $ 가 수립되며, 등호는 $ G $ 가 정규일 때에만 성립한다.
• 두 번째 초제그레브 지수에 대해 $ \delta^2 \leq \frac{HM_2(G)}{2(M_1(G) - 2m)} \leq \triangle^2 $ 이며, 등호는 $ G $ 가 정규일 때에만 성립한다.
• 하한 $ HM_2(G) \geq \frac{M_1(G)^3}{2m^2} $ 가 도출되며, 등호는 $ G $ 가 정규일 때에만 성립한다.
• 상한 $ HM_2(G) \leq \frac{1}{2}M_1(G)^2 - \delta(m-1)M_1(G) + \left(\delta - \frac{1}{2}\right)HM_1(G) $ 가 증명되며, 등호는 $ G $ 가 정규일 때에만 성립한다.