[논문 리뷰] Bounds on short character sums and L-functions for characters with a smooth modulus

William D. Banks, Igor E. Shparlinski|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 24.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 매끄러운 모듈러스를 가진 원시 캐릭터에 대해 짧은 캐릭터 합과 딜리클레 $L$-함수의 개선된 경계를 확립한다. 이는 포스트니코프의 방법과 코로보프의 지수 합 추정치를 새로운 방식으로 조합하여 달성된다. 주요 결과는 $N \geq \exp\left((\log q)^{2/3+\varepsilon}\right)$ 범위에서 비자명한 캐릭터 합 경계를 제공하는 것으로, 이는 $L(s,\chi)$의 더 강력한 영역 없는 영역과 소수의 짧은 등차수열에서의 점근적 공식의 개선된 오차 항을 이끌어낸다.

ABSTRACT

We combine a classical idea of Postnikov (1956) with the method of Korobov (1974) for estimating double Weyl sums, deriving new bounds on short character sums when the modulus $q$ has a small core $\prod_{p\mid q}p$. Using this estimate, we improve certain bounds of Gallagher (1972) and Iwaniec (1974) for the corresponding $L$-functions. In turn, this allows us to improve the error term in the asymptotic formula for primes in short arithmetic progressions modulo a power of a fixed prime. As yet another application of our bounds, we substantially extend the region free of Siegel zeros.

연구 동기 및 목표

• 특히 모듈러스가 소수 거듭제곱일 경우에 대해, 작은 核을 가진 모듈러스에 대한 기존의 짧은 캐릭터 합 경계를 향상시키는 것.
• 특히 영역 없는 영역의 맥락에서, $\Re(s)$가 1에 가까울 때 딜리클레 $L$-함수 $L(s,\chi)$에 대한 더 강력한 추정치를 도출하는 것.
• 소수의 짧은 등차수열에서의 수를 나타내는 점근적 공식의 오차 항을 정밀화하는 것.
• 매끄러운 모듈러스를 가진 캐릭터에 연결된 딜리클레 $L$-함수의 시겔 영점이 없는 영역을 확장하는 것.

제안 방법

• 다항식을 포함하는 이중 와일 합의 추정에 대해 포스트니코프의 캐릭터 합 접근법과 코로보프의 방법을 결합한다.
• 포드가 제공한 명시적 형태의 비노그라드의 평균값 정리를 적용하여 거듭제곱 모멘트 방정식계의 해의 수를 추정한다.
• 캐릭터 합 경계에서 지수를 정의하기 위해 $N^\varrho = q$의 관계를 사용한다. 여기서 $\varrho$는 합의 길이가 모듈러스에 비해 어느 정도인지 측정한다.
• 절대 상수 $A$, $\xi_0$, $\gamma_0$를 사용하여 $N \geq \mathfrak{q}_{\sharp}^{\gamma_0}$ 일 때 비자명한 경계 $S_\chi(M,N) \leq A N^{1 - \xi_0 / \varrho^2}$ 를 유도한다.
• 개선된 캐릭터 합 경계를 $L$-함수 추정에 적용하여 $\sigma > 1 - \vartheta$ 형태의 영역 없는 영역을 확립한다. 여기서 $\vartheta = \frac{a}{(\log x)^{2/3}(\log\log x)^{1/3}}$이다.
• 조건이 적절한 $p$-진 값에 대해 $s$의 $p$-진 값에 대한 조건을 유지하면서, 결과를 $q = rs$ 형태의 모듈러스로 확장한다. 여기서 $r,s$는 서로소이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모듈러스가 작은 핵을 가졌을 때, 짧은 간격에서의 캐릭터 합에 대해 버거스 경계를 개선할 수 있는가?
• RQ2 모듈러스가 $p^\gamma$일 때, 짧은 캐릭터 합에 대한 경계 $S_\chi(M,N) \ll N^{1-\delta}$ 의 최적의 지수는 무엇인가?
• RQ3 개선된 캐릭터 합 경계는 $\Re(s) \approx 1$ 인 $L(s,\chi)$의 영역 없는 영역에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 소수 정리의 짧은 등차수열에 대한 점근적 공식에서 오차 항은 어느 정도까지 줄일 수 있는가? 모듈러스가 $p^\gamma$일 때.
• RQ5 매끄러운 모듈러스를 가진 캐릭터에 대해, 시겔 영점이 없는 영역을 상당히 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 짧은 캐릭터 합에 대한 비자명한 경계를 확립한다: $S_\chi(M,N) \leq A N^{1 - \xi_0 / \varrho^2}$, $N \geq \mathfrak{q}_{\sharp}^{\gamma_0}$ 일 때, 절대 상수 $A$, $\xi_0$, $\gamma_0$를 사용한다.
• 이 경계는 $N \geq \exp\left((\log q)^{2/3+\varepsilon}\right)$ 일 때 비자명하며, 이는 이전의 임계값 $\exp\left((\log q)^{3/4+\varepsilon}\right)$ 보다 향상된 것이다.
• $L(s,\chi)$의 영역 없는 영역은 $\sigma > 1 - \vartheta$ 로 확장되며, $\vartheta = \frac{a}{(\log x)^{2/3}(\log\log x)^{1/3}}$ 이다. 이는 이전 결과보다 상당히 향상된 것이다.
• $\psi(x+h;q,a)$의 점근적 공식에서의 오차 항은 $\ll_{\varepsilon} \exp\left(-c_0 (\log x)^{1/3} (\log\log x)^{-1/3}\right)$ 으로 줄어들었으며, 갈라거와 이와니에치의 경계를 향상시켰다.
• 조건이 적절한 경우, 결과는 $q = rs$ 형태의 모듈러스로 확장되며, $r$ 이 작을 경우 경계의 강도를 유지한다. 이때 $s$의 $p$-진 값에 대한 조건이 필수적이다.
• 결과는 모든 원시 캐릭터에 대해 $L(s,\chi)$ 가 영역 $\sigma > 1 - \vartheta$ 에서 영점을 가지지 않음을 암시한다. 여기서 $|t| \leq q^C$ 이고, $\vartheta$ 는 위와 같다.