[논문 리뷰] Bounds on the dynamics and entanglement in a periodic quantum walks

N. Pradeep Kumar, Radhakrishna Balu외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 16.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 매개변수 $\theta_1$와 $\theta_2$를 가진 시간에 따라 변하는 동전 연산을 사용하는 주기적인 이산 시간 양자 산책을 연구한다. 분석적으로 및 수치적으로 산책의 분산이 단일 매개변수 산책의 분산의 최소값으로 유계임을 증명하며, $\sigma_{\theta_1,\theta_2}(t) = \min\{\sigma_{\theta_1}(t), \sigma_{\theta_2}(t)\}$로 표현된다. 이 유계는 고주기 및 스플릿스텝 양자 산책으로까지 확장된다. 연구는 비영인 $\theta$에 대해서도 비트리비얼 간섭 효과를 드러내며, 비상대론적 설정에서 질량이 없는 디랙 방정식을 복원할 수 있음을 보이며, 동전과 위치 공간 간의 얽힘을 분석한다.

ABSTRACT

We study the dynamics of discrete-time quantum walk using quantum coin operations, $\hat{C}( heta_1)$ and $\hat{C}( heta_2)$ in time dependent periodic sequence. For two-period quantum walk with the parameters $ heta_1$ and $ heta_2$ in the coin operations we show that the standard deviation ($\sigma_{ heta_1, heta_2} (t)$) is same as the minimum of standard deviation obtained from one of the one-period quantum walk with coin operations $ heta_1$ or $ heta_2$, $\sigma_{ heta_1, heta_2}(t) = \min \{\sigma_{ heta_1}(t), \sigma_{ heta_2}(t) \}$. Our numerical result is analytically corroborated using the dispersion relation obtained from the continuum limit of the dynamics. Using the dispersion relation for one- and two-period quantum walk, we present the bounds on the dynamics of three- and higher period quantum walks. We also show that the bounds for the two-period quantum walk will hold good for the split-step quantum walk which is also defined using two coin operators using $ heta_1$ and $ heta_2$. Unlike the previous known connection of discrete-time quantum walks with the massless Dirac equation where coin parameter $ heta=0$, here we show the recovery of massless Dirac equation with non-zero $ heta$ parameters contributing to the intriguing interference in the dynamics in a totally non-relativistic situation. We also present the effect of periodic sequence on the entanglement between coin and position space.

연구 동기 및 목표

• 시간 주기적인 동전 연산을 갖는 이산 시간 양자 산책의 역학적 행동을 이해하기 위해 $\theta_1$ 및 $\theta_2$ 두 개의 서로 다른 매개변수를 사용한다.
• 두 주기 양자 산책에서 산책의 위치 분포의 표준편차에 대한 분석적 유계를 유도한다.
• 이 유계를 고주기 양자 산책 및 스플릿스텝 양자 산책 모델으로 확장한다.
• 비영인 $\theta$ 매개변수를 가진 비상대론적 양자 산책 프레임워크에서 상대론적 유사 역학, 예를 들어 질량이 없는 디랙 방정식이 어떻게 나타나는지 조사한다.
• 주기적인 동전 순서에 따른 동전과 위치 자유도 간의 얽힘을 분석한다.

제안 방법

• 두 주기 양자 산책을 시간에 따라 변하는 동전 연산 $\hat{C}(\theta_1)$ 및 $\hat{C}(\theta_2)$를 번갈아 적용하여 수학적으로 기술한다.
• 산책의 진화의 연속 근사에서 산출된 분산 관계를 이용해 점근적 역학을 분석한다.
• 분산 관계를 사용하여 두 주기 산책의 표준편차 $\sigma_{\theta_1,\theta_2}(t)$에 대한 유계를 확립한다.
• 두 주기 경우에서 유도된 유계를 분석적 외삽을 통해 세 주기 및 고주기 양자 산책으로 확장한다.
• 동일한 프레임워크를 두 개의 서로 다른 동전 연산자를 순차적으로 사용하는 스플릿스텝 양자 산책에 적용한다.
• 주기적인 동전 순서에 의해 유도된 양자 상관관계를 평가하기 위해 동전 및 위치 힐베르트 공간 간의 얽힘 엔트로피를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 주기 양자 산책의 표준편차는 동전 매개변수 $\theta_1$ 및 $\theta_2$에 어떻게 의존하는가?
• RQ2 고주기 양자 산책의 역학은 그 구성 요소인 한 주기 산책의 역학을 사용해 유계로 표현될 수 있는가?
• RQ3 비영인 $\theta$ 매개변수를 가진 이산 시간 양자 산책에서 질량이 없는 디랙 방정식이 어떤 조건에서 나타나는가?
• RQ4 주기적인 동전 연산 순서는 동전과 위치 자유도 간의 얽힘에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 상대론적 대칭성이 없는 상황에서 $\theta \neq 0$ 인 경우에도 산책 역학의 간섭 효과가 얼마나 지속되는가?

주요 결과

• 두 주기 양자 산책의 표준편차는 개별 한 주기 산책의 표준편차의 최소값으로 유계이다: $\sigma_{\theta_1,\theta_2}(t) = \min\{\sigma_{\theta_1}(t), \sigma_{\theta_2}(t)\}$.
• 이 유계는 산책의 진화의 연속 근사에서 유도된 분산 관계를 통해 분석적으로 확인된다.
• 두 주기 역학에 대한 유도된 유계는 분석적 계속을 통해 세 주기 및 고주기 양자 산책으로 확장된다.
• 두 개의 서로 다른 동전 연산자를 사용하는 스플릿스텝 양자 산책은 두 주기 산책과 동일한 표준편차 유계를 만족한다.
• 비영인 $\theta_1$ 및 $\theta_2$ 조건에서도 연속 근사에서 질량이 없는 디랙 방정식이 복원되며, 이는 비상대론적 프레임워크에서 비트리비얼 간섭 효과가 존재함을 시사한다.
• 주기적인 동전 연산 순서는 동전과 위치 공간 간의 얽힘을 조절하여 양자 상관관계에 대한 조절 가능한 제어를 가능하게 한다.