[논문 리뷰] Bounds on the maximum multiplicity of some common geometric graphs

Adrian Dumitrescu, André Schulz외 2명|arXiv (Cornell University)|2010. 12. 27.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 35인용 수 37

한 줄 요약

이 논문은 일반 위치에 있는 n개의 점 위에서 교차하지 않는 기하 그래프—예를 들어 삼각분할, 스패닝 트리, 완벽 매칭, 스패닝 사이클 등—의 최대 개수에 대한 새로운 하한과 상한을 확립한다. 일반화된 이중 체인 구성 방식을 도입함으로써, 삼각분할의 하한을 Ω(8.65ⁿ)으로 향상시키고, 교차하지 않는 스패닝 트리의 하한을 Ω(12.00ⁿ)으로 높였으며, 최근의 삼각분할 상한을 활용하여 교차하지 않는 스패닝 사이클의 상한을 O(68.62ⁿ)로 도출하였다. 또한 가장 짧고 가장 긴 교차하지 않는 순회, 매칭, 스패닝 트리 모두가 지수적으로 많은 경우의 수를 가질 수 있음을 보이며, 볼록 점 집합에서 가장 긴 순회를 계산하는 데 O(n log n) 시간이 소요되는 알고리즘을 제시한다.

ABSTRACT

We obtain new lower and upper bounds for the maximum multiplicity of some weighted and, respectively, non-weighted common geometric graphs drawn on n points in the plane in general position (with no three points collinear): perfect matchings, spanning trees, spanning cycles (tours), and triangulations. (i) We present a new lower bound construction for the maximum number of triangulations a set of n points in general position can have. In particular, we show that a generalized double chain formed by two almost convex chains admits Ω(8.65^n) different triangulations. This improves the bound Ω(8.48^n) achieved by the double zig-zag chain configuration studied by Aichholzer et al. (ii) We present a new lower bound of Ω(12.00^n) for the number of non-crossing spanning trees of the double chain composed of two convex chains. The previous bound, Ω(10.42^n), stood unchanged for more than 10 years. (iii) Using a recent upper bound of 30^n for the number of triangulations, due to Sharir and Sheffer, we show that n points in the plane in general position admit at most O(68.62^n) non-crossing spanning cycles. (iv) We derive lower bounds for the number of maximum and minimum weighted geometric graphs (matchings, spanning trees, and tours). We show that the number of shortest non-crossing tours can be exponential in n. Likewise, we show that both the number of longest non-crossing tours and the number of longest non-crossing perfect matchings can be exponential in n. Moreover, we show that there are sets of n points in convex position with an exponential number of longest non-crossing spanning trees. For points in convex position we obtain tight bounds for the number of longest and shortest tours. We give a combinatorial characterization of the longest tours, which leads to an O(nlog n) time algorithm for computing them.

연구 동기 및 목표

• 일반 위치에 있는 n개의 점 위에서 교차하지 않는 기하 그래프—특히 삼각분할, 스패닝 트리, 완벽 매칭—의 최대 개수에 대한 하한을 향상시키는 것.
• 기존의 삼각분할 상한을 활용하여 교차하지 않는 스패닝 사이클의 수에 대한 더 날카운 상한을 도출하는 것.
• 가중 기하 그래프의 다수성, 즉 가장 짧고 가장 긴 교차하지 않는 순회, 매칭, 스패닝 트리의 수를 조사하는 것.
• 볼록 점 집합에서 가장 긴 교차하지 않는 순회를 효율적으로 계산하는 알고리즘을 제공하는 것.

제안 방법

• 이중 체인의 변형으로서 두 개의 거의 볼록 체인으로 구성된 일반화된 이중 체인을 구축하여 이전의 이중 지그재그 체인보다 더 많은 삼각분할을 달성하는 것.
• 볼록 점 집합에서 변의 길이 범위와 회전 대칭성을 분석하여 가장 긴 교차하지 않는 순회를 세는 것.
• Sharir와 Sheffer의 삼각분할에 대한 O(30ⁿ) 상한을 적용하여 교차하지 않는 스패닝 사이클의 상한을 O(68.62ⁿ)로 도출하는 것.
• 가장 긴 순회에 대한 조합적 특성화를 활용하여 볼록 점 집합에서 O(n log n) 시간에 가장 긴 순회를 계산하는 알고리즘을 설계하는 것.
• 피그인홀 원리에 기반한 귀류법을 사용하여 가장 긴 순회에서 특정한 변 구성 방식을 배제하는 것.
• 회전 대칭성과 변 교환을 활용하여 볼록 위치에 있을 경우 O(n) 시간에 모든 가장 긴 순회를 효율적으로 세는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 위치에 있는 n개의 점 위에서 삼각분할의 수가 Ω(8.48ⁿ)을 초과할 수 있으며, 만약 그렇다면 얼마나 초과하는가?
• RQ2 n개의 점 집합에서 교차하지 않는 스패닝 트리의 최대 개수는 얼마이며, 기존의 Ω(10.42ⁿ)을 넘어서 개선될 수 있는가?
• RQ3 현재 삼각분할에 대한 지식을 바탕으로 교차하지 않는 스패닝 사이클의 수에 대한 가장 날카운 상한은 무엇인가?
• RQ4 일반 위치에 있는 점 집합에서 가장 짧고 가장 긴 교차하지 않는 기하 그래프(매칭, 스패닝 트리, 순회)는 최대 몇 개인가?
• RQ5 일반 위치에 있는 점 집합에서 가장 긴 교차하지 않는 스패닝 순회를 계산하는 것은 NP-난이도인가?

주요 결과

• 일반화된 이중 체인 구성은 Ω(8.65ⁿ)개의 삼각분할을 생성하며, 이는 이전의 이중 지그재그 체인에서의 최고 기록인 Ω(8.48ⁿ)을 초월한다.
• 두 볼록 체인으로 구성된 이중 체인은 Ω(12.00ⁿ)개의 교차하지 않는 스패닝 트리를 지원하며, 이는 이전의 기록인 Ω(10.42ⁿ)을 뛰어넘는다.
• n개의 점 위에서 교차하지 않는 스패닝 사이클의 수는 최대 O(68.62ⁿ)이며, 이는 삼각분할의 O(30ⁿ) 상한에서 유도된 것이다.
• 가장 짧고 가장 긴 교차하지 않는 순회에 대한 개수는, 일반 위치에 있는 점 집합일지라도 지수적으로 많을 수 있다.
• 볼록 위치에 있는 점들에 대해서는 모든 가장 긴 교차하지 않는 순회를 O(n log n) 시간에 계산할 수 있으며, 순환 순서가 주어진 경우 O(n) 알고리즘이 존재한다.
• 가장 긴 순회에 대한 조합적 특성화를 통해 볼록 점 집합에서 O(n log n) 시간에 가장 긴 순회를 계산하는 알고리즘이 가능하다.