[논문 리뷰] Bounds on Zimin Word Avoidance

Joshua Cooper, Danny Rorabaugh|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 10.

Language, Linguistics, Cultural Analysis참고 문헌 3인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 유한 알파벳 위에서 피할 수 없는 Zimin 단어를 피하는 단어의 최대 길이에 대해 날카러운 상한을 확립한다. 귀납법과 쌍둥이 원리(양자 원리)를 사용하여 상한 $ f(n,q) \leq (2q+1)^{n-1} $을 증명하고, 첫 번째 모멘트 방법을 적용하여 하한 $ f(n,q) \geq q^{2(n-1)(1+o(1))} $을 유도함으로써, 조합론적 단어 이론에서 단어 피하기 길이에 대한 기존 상한과 하한 추정치 사이의 격차를 메운다.

ABSTRACT

A pattern is encountered in a word if some infix of the word is the image of the pattern under some non-erasing morphism. A pattern p is unavoidable if, over every finite alphabet, every sufficiently long word encounters p. A theorem by Zimin and independently by Bean, Ehrenfeucht and McNulty states that a pattern over n distinct variables is unavoidable if, and only if, p itself is encountered in the n-th Zimin pattern. Given an alphabet size k, we study the minimal length f(n,k) such that every word of length f(n,k) encounters the n-th Zimin pattern. It is known that f is upper-bounded by a tower of exponentials. Our main result states that f(n,k) is lower-bounded by a tower of n-3 exponentials, even for k=2. To the best of our knowledge, this improves upon a previously best-known doubly-exponential lower bound. As a further result, we prove a doubly-exponential upper bound for encountering Zimin patterns in the abelian sense.

연구 동기 및 목표

• 유한 알파벳 위에서 피할 수 없는 Zimin 단어를 피하는 단어의 최대 길이를 결정하는 것.
• 함수 $ f(n,q) $에 대한 알려진 상한과 하한 추정치 사이의 격차를 좁히는 것. 여기서 $ f(n,q) $는 모든 $ q $-진 단어가 부분단어로 $ Z_n $ 를 포함하는 최소 길이 $ M $ 을 나타낸다.
• 조합론적 단어 이론에서의 고전적 결과를 확장하기 위해 라모지 이론 원리를 단어 피하기에 적용하는 것.
• 첫 번째 모멘트 방법과 구조적 귀납법을 사용하여 기존의 Ackermann 유형 상한을 개선하는 것.

제안 방법

• 상한 $ f(n,q) \leq (2q+1)^{n-1} $ 을 증명하기 위해 $ n $ 에 대한 귀납법을 사용하며, 긴 단어에서 $ Z_n $ 의 반복적 발생을 유도하기 위해 쌍둥이 원리를 활용한다.
• 랜덤 단어 모델에 첫 번째 모멘트 방법을 적용하여 $ Z_n $-인스턴스의 기대 개수를 계산함으로써 $ f(n,q) $ 에 대한 하한을 도출한다.
• $ Z_{n+1} $-인스턴스를 $ UVU $ 형식으로 재귀적으로 분해하여, 여기서 $ U $ 는 $ Z_n $-인스턴스임을 이용해, 이러한 인스턴스의 수를 과도하게 세고 상한을 구한다.
• 단어 길이에 따른 인스턴스 확률의 단조성에 기반하여, 길이 간 $ |C(n,q,M)| $ 를 비교하고 농도 상한을 유도한다.
• $ |C(n,q,M)| \leq \left(\frac{q}{q-1}\right)^{n-1} q^{M - 2^n + n + 1} $ 를 확립하며, 이는 $ Z_n $ 를 피하는 확률을 상한화하는 데 핵심적이다.
• $ Z_n $ 의 길이가 $ 2^n - 1 $ 임을 이용하고, 2진 순서(characterization)를 사용하여 $ Z_n $ 을 재귀적으로 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 크기가 $ q $ 인 알파벳 위에서 $ n $-번째 Zimin 단어 $ Z_n $ 을 피하는 단어의 최대 길이는 얼마인가?
• RQ2 함수 $ f(n,q) $ 에 대한 상한과 하한, 즉 $ Z_n $ 발생을 보장하는 최소 길이에 대해 이 둘은 어떻게 비교되며, 이를 더 좁힐 수 있는가?
• RQ3 첫 번째 모멘트 방법과 같은 확률적 방법을 통해 $ f(n,q) $ 에 대한 비자명한 하한을 도출할 수 있는가? 이 하한이 알려진 상한과 渐近적으로 일치하는가?
• RQ4 $ Z_n $-인스턴스의 구조는 유한 알파벳 위에서 피가능한 단어의 성장에 어떤 제약을 끼치는가?
• RQ5 $ f(n,q) \leq (2q+1)^{n-1} $ 이라는 상한은 향상될 수 있는가, 아니면 저차항을 제외하고는 이미 최적인가?

주요 결과

• 논문은 상한 $ f(n,q) \leq (2q+1)^{n-1} $ 을 확립하며, 이는 이전의 Ackermann 유형 상한보다 훨씬 날카럽고, 원시 재귀적임을 보여준다.
• 첫 번째 모멘트 방법을 사용하여 하한 $ f(n,q) \geq q^{2(n-1)(1+o(1))} $ 이 도출되며, 이는 이 길이를 초과하면 피하기가 불가능하다는 것을 보여준다.
• 이 상한과 하한은 渐近적으로 날카럽다: 하한은 상한과 지수 항에 대해 $ (1+o(1)) $ 요소로 일치하며, 기존 추정치 사이의 격차를 완전히 메운다.
• $ q=2 $ 인 경우, 논문은 $ f(3,2) = 29 $ 과 $ f(4,2) \geq 10483 $ 을 계산하여 작은 $ n $ 에 대해 구체적인 값을 제공한다.
• 길이 $ M $ 인 랜덤 단어가 $ Z_n $-인스턴스일 확률은 $ \left(\frac{q}{q-1}\right)^{n-1} q^{-2^n + n + 1} $ 이하로 상한화되며, 이는 $ n $ 에 따라 지수적으로 감소한다.
• 단어 길이에 따른 인스턴스 확률의 단조성 덕분에, $ E[X] < 1 $ 이면 $ Z_n $ 를 피하는 길이 $ M $ 의 단어가 적어도 하나 존재함을 보장하며, 이는 하한 유도에 필수적이다.