[논문 리뷰] Bowen measure for derived from Anosov diffeomorphims

Martı́n Sambarino, Carlos H. Vásquez|ArXiv.org|2009. 04. 07.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 7인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 확장성 있는 호메오모르피즘 $f$와 사양 성질을 갖는 $C^0$ 섭동 $g$에 대해, 고유한 Bowen 측도—즉, 위상 엔트로피를 최대화하는 고유한 에르고딕 확률 측도—가 존재하는 충분조건을 확립한다. 이 방법은 $g$에서 $f$로의 준동형 $h$에 의한 주기류의 역학을 분석하는 데 기반하며, 각 주기류의 위상 엔트로피가 0이고, 비어 있지 않은 클래스가 원래 Bowen 측도 $\mu$ 하에서 일반적이라면, $g$의 주기 측도는 유일한 최대화 측도로 수렴함을 증명한다. 핵심 결과는 유도된 Anosov 미분형과 그의 스텝 플로우로까지 확장된다.

ABSTRACT

In this work we give general conditions under which a $C^0$ perturbation of an expansive homeomorphim with specification property has an unique Bowen measure, that is, there is an ergodic probability measure which is the unique measure maximizing the topological entropy. We apply these conditions to show that several derived from Anosov diffeomorphims have a unique Bowen measure.

연구 동기 및 목표

• 확장성 있는 호메오모르피즘 $f$와 사양 성질을 갖는 $C^0$ 섭동 $g$에 대해, 위상 엔트로피를 최대화하는 고유한 측도가 존재하는 일반 조건을 확립하는 것.
• 확장성과 사양 성질을 상실하더라도 미세 척도에서 약한 형태를 유지하는 섭동 시스템 $g$로 Bowen의 고유한 엔트로피 최대화 측도(즉, Bowen 측도)의 구성 방식을 $f$에서 $g$로 확장하는 것.
• 유도된 Anosov(derived-from-Anosov, DA) 미분형에 일반 결과를 적용하여, 미약한 동역학적 및 기하 조건 하에서 고유한 Bowen 측도가 존재함을 증명하는 것.
• 이러한 DA 미분형에 대한 스텝 플로우로 결과를 확장하여, 일정 높이를 갖는 스텝 플로우 역시 고유한 엔트로피 최대화 측도를 가짐을 보이는 것.
• 특정 DA 미분형의 경우를 넘어서 더 일반적인 평형 상태에 적용 가능한 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 준동형 $h: X \to X$를 $g$에서 $f$로 정의하여 $f \circ h = h \circ g$를 만족시키며, 이에 따라 등가류 $[x] = h^{-1}(h(x))$를 유도한다.
• 세 가지 핵심 조건 정의: (H1) 각 등가류 $[x]$에서 $g$의 위상 엔트로피는 0이다; (H2) 각 주기 등가류 $[x]$는 $h(x)$와 같은 주기의 주기점을 포함한다; (H3) 단일점으로 이루어진 비어 있지 않은 등가류 집합은 원래 Bowen 측도 $\mu$ 하에서 전체 측도를 가진다.
• 서로 다른 $f$-궤도에 속한 주기점들만을 사용하여, $g$의 주기 궤도 위에 정의된 주기 확률 측도 $\nu_n$의 수열을 구성한다.
• $\nu_n$이 수렴하여 극한 $\nu$를 이루며, 이는 $g$-불변이며, 에르고딕이면서 변분 원리에 의해 유일하게 엔트로피를 최대화함을 증명한다.
• $g$-궤도가 비어 있지 않은 등가류에서 반복적으로 수축됨(비선형성과 $f$에 대한 $C^0$-근접성에 기인)을 이용해, 모든 $[x]$에 대해 $h_{\text{top}}(g, [x]) = 0$임을 보인다.
• 유도된 Anosov 미분형에 대해 불변성과 중심-안정 다변량의 구조 및 주기 등가류의 행동을 통해 (H1)–(H3)를 검증함으로써 결과를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확장성 있는 호메오모르피즘 $f$와 사양 성질을 갖는 $C^0$ 섭동 $g$가 위상 엔트로피를 최대화하는 고유한 측도를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 $g$가 확장성과 사양 성질을 상실하더라도 $f$에 대해 $C^0$-근접일 경우, $f$에 대한 Bowen 측도 구성 방식을 $g$로 확장할 수 있는가?
• RQ3 유도된 Anosov(derived-from-Anosov, DA) 미분형은 고유한 Bowen 측도를 갖는가? 만약 그렇다면, 어떤 동역학적 및 기하 조건 하에서인가?
• RQ4 기본 맵이 섭동된 경우, 유도된 Anosov 미분형에 대한 스텝 플로우의 고유한 엔트로피 최대화 측도가 유지되는가?
• RQ5 이 방법은 엔트로피 최대화 케이스를 넘어서 더 일반적인 평형 상태로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 서로 다른 $f$-궤도에 속한 주기점들만을 사용하여 정의된 $g$의 주기 확률 측도 $\nu_n$의 수열은, 고유한 $g$-불변이며 에르고딕인 측도 $\nu$로 수렴하며, 이는 변분 원리에 의해 위상 엔트로피를 최대화한다.
• 유도된 Anosov 미분형의 경우 (H1) 조건이 성립한다. 주기 등가류는 혹은 반발자 기저에 속해 있어 엔트로피가 0이거나, 반복적으로 수축하여 엔트로피가 0이기 때문이다.
• (H2) 조건은 중심-안정 다변량에 속한 주기 등가류가 비어 있지 않은 경우나 단일점일 경우에 대해, 각 등가류에 주기점이 존재함을 보여주므로 성립한다.
• (H3) 조건은 비어 있지 않은 등가류 집합이 원래 Bowen 측도 $\mu$ 하에서 전체 측도를 가지며, 준동형에 의해 보존되기 때문에 성립한다.
• 일정 높이 함수 $\tau \equiv 1$을 갖는 유도된 Anosov 미분형의 스텝 플로우는 고유한 엔트로피 최대화 측도를 갖는다. 이는 $g$의 Bowen 측도와 구간 위의 르베그 측도의 곱으로 주어진다.
• 스텝 플로우 $\Psi$의 고유한 엔트로피 최대화 측도는 $\mu_g \times \text{Leb}$이며, 그 엔트로피는 $h_{\text{top}}(g)$와 같으며, 변분 원리와 Abramov의 공식에 의해 고유성이 확인된다.