[논문 리뷰] Box-counting fractal strings, zeta functions, and equivalent forms of Minkowski dimension

Michel L. Lapidus, John A. Rock외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 28.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 23인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 유클리드 공간 내 유계 집합의 민코프스키 차원을 특성화하기 위해 상자 세기 프랙탈 끈과 상자 세기 제타 함수를 도입한다. 이와 동시에 상자 세기 제타 함수의 수렴 абс시사가 상자 세기 차원의 상한과 일치함을 증명하여, 기존의 민코프스키 차원 정의들을 통합하고 복소 차원 이론을 일반적인 유계 집합으로 확장한다.

ABSTRACT

We discuss a number of techniques for determining the Minkowski dimension of bounded subsets of some Euclidean space of any dimension, including: the box-counting dimension and equivalent definitions based on various box-counting functions; the similarity dimension via the Moran equation (at least in the case of self-similar sets); the order of the (box-)counting function; the classic result on compact subsets of the real line due to Besicovitch and Taylor, as adapted to the theory of fractal strings; and the abscissae of convergence of new classes of zeta functions. Specifically, we define box-counting zeta functions of infinite bounded subsets of Euclidean space and discuss results pertaining to distance and tube zeta functions. Appealing to an analysis of these zeta functions allows for the development of theories of complex dimensions for bounded sets in Euclidean space, extending techniques and results regarding (ordinary) fractal strings obtained by the first author and van Frankenhuijsen.

연구 동기 및 목표

• 유클리드 공간의 유계 부분집합에 대한 기존 민코프스키 차원 정의들을 통합하고 일반화하기.
• 상자 세기 제타 함수를 이용해 임의의 유계 집합에 대한 복소 차원 이론을 구축하기.
• 기존의 자기유사 집합에 국한된 프랙탈 끈과 복소 차원 이론의 프레임워크를 일반 유계 집합으로 확장하기.
• 제타 함수(상자 세기, 거리, 튜브)와 민코프스키 콘텐츠 및 가측성 간의 관계를 설정하기.
• 프랙탈 튜브 공식과 복소 차원에 의한 점근적 부피 근사에 관한 열린 문제 제안하기.

제안 방법

• 반지름 ε⁻¹의 구로 집합을 덮는 데서 유도된 간격의 집합으로서 상자 세기 프랙탈 끈을 정의한다.
• 상자 세기 프랙탈 끈의 간격 길이 r_j에 대해 ζ_B(s) = ∑ r_j^s 로 정의되는 상자 세기 제타 함수를 도입한다.
• ζ_B(s)의 수렴 аб스시사가 집합의 상부 상자 세기 차원과 일치함을 증명한다.
• 이전 연구에서 도입된 거리 제타 함수 및 튜브 제타 함수(예: [17])와 상자 세기 제타 함수 간의 관계를 설정한다.
• 복소 차원 이론—제타 함수의 메로모르픽 연장의 극으로 정의됨—을 활용해 민코프스키 콘텐츠 및 가측성 분석을 수행한다.
• 프랙탈 끈 이론의 결과(예: [19])를 응용하여 고차원 집합에 대한 유사 결과, 특히 프랙탈 튜브 공식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 R^m 내 유계 집합의 민코프스키 차원은 어떤 제타 함수의 수렴 аб스시사로 특성화될 수 있는가?
• RQ2 상자 세기 제타 함수는 거리 제타 함수 및 튜브 제타 함수와 어떤 관계가 있는가?
• RQ3 거리 제타 함수의 복소 차원을 이용해 일반 유계 집합에 대한 프랙탈 튜브 공식을 유도할 수 있는가?
• RQ4 상자 세기 제타 함수의 복소 차원이 민코프스키 콘텐츠의 점근적 행동을 결정짓는 조건은 무엇인가?
• RQ5 집합의 ε-근접 집합의 부피는 어떻게 제타 함수의 잔여근과 복소 차원으로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 상자 세기 제타 함수 ζ_B(s)의 수렴 аб스시사가 집합 A의 상부 상자 세기 차원과 일치한다.
• 상부 상자 세기 차원, 상부 민코프스키 차원, 상자 세기 프랙탈 끈의 수량 함수의 성장 차수는 모두 동치이다.
• 거리 제타 함수 ζ_d(s)의 수렴 аб스시사 역시 집합 A의 상부 민코프스키 차원과 일치한다.
• 거리 제타 함수의 복소 차원은 집합 A의 민코프스키 콘텐츠 및 가측성과 연결되어 있다.
• 튜브 제타 함수 ζ_t(s)와 그 복소 차원은 고차원에서의 프랙탈 튜브 공식 유도를 위한 프레임워크를 제공한다.
• 열린 문제들은 적절한 성장 조건 하에서, 집합 A의 ε-근접 집합의 부피 |A_ε|가 오차 항을 제외한 제타 함수의 잔여근 합으로 점근적으로 표현될 수 있음을 시사한다.