[논문 리뷰] BPS/CFT correspondence II: Instantons at crossroads, Moduli and Compactness Theorem

Nikita Nekrasov|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 25.

Black Holes and Theoretical Physics인용 수 86

한 줄 요약

이 논문은 칼라비-아우 레이어의 비가환 게이지 이론에 대해 표면 및 점형 결함을 포함하는 분할된 시공간에서 일반화된 인스탄톤 모듈리 공간—스피크드, 크로스드, 폴드드 인스탄톤—을 도입한다. 주요 기여는 이러한 모듈리 공간에서 토러스 고정점에 대한 컴팩트성 정리로, 이는 ${\mathcal{N}}=2$ 퀘이버 게이지 이론에서 비추상적 다이슨-슈윙거 항등식을 $qq$-특성으로 이끌어내는 데 기초가 된다.

ABSTRACT

Gieseker-Nakajima moduli spaces $M_{k}(n)$ parametrize the charge $k$ noncommutative $U(n)$ instantons on ${\\bf R}^{4}$ and framed rank $n$ torsion free sheaves $\\mathcal{E}$ on ${\\bf C\\bf P}^{2}$ with ${\ m ch}_{2}({\\mathcal{E}}) = k$. They also serve as local models of the moduli spaces of instantons on general four-manifolds. We study the generalization of gauge theory in which the four dimensional spacetime is a stratified space $X$ immersed into a Calabi-Yau fourfold $Z$. The local model ${\\bf M}_{k}({\\vec n})$ of the corresponding instanton moduli space is the moduli space of charge $k$ (noncommutative) instantons on origami spacetimes. There, $X$ is modelled on a union of (up to six) coordinate complex planes ${\\bf C}^{2}$ intersecting in $Z$ modelled on ${\\bf C}^{4}$. The instantons are shared by the collection of four dimensional gauge theories sewn along two dimensional defect surfaces and defect points. We also define several quiver versions ${\\bf M}_{\\bf k}^{\\gamma}({\\vec{\\bf n}})$ of ${\\bf M}_{k}({\\vec n})$, motivated by the considerations of sewn gauge theories on orbifolds ${\\bf C}^{4}/{\\Gamma}$. The geometry of the spaces ${\\bf M}_{\\bf k}^{\\gamma}({\\vec{\\bf n}})$, more specifically the compactness of the set of torus-fixed points, for various tori, underlies the non-perturbative Dyson-Schwinger identities recently found to be satisfied by the correlation functions of $qq$-characters viewed as local gauge invariant operators in the ${\\mathcal{N}}=2$ quiver gauge theories. The cohomological and K-theoretic operations defined using ${\\bf M}_{k}({\\vec n})$ and their quiver versions as correspondences provide the geometric counterpart of the $qq$-characters, line and surface defects.

연구 동기 및 목표

• 칼라비-아우 4차원 다양체 내 분할된 시공간에서 비가환 게이지 이론으로의 인스탄톤 ADHM 구성의 일반화.
• 상호작용하는 ${\mathbb{C}}^2$ 평면들의 합집합 위에서 표면 및 점형 결함을 갖는 스피크드, 크로스드, 폴드드 인스탄톤의 모듈리 공간 정의.
• 이러한 모듈리 공간에서 토러스 고정점의 컴팩트성 정리 수립 — 이는 초대칭 게이지 이론에서 비추상적 항등식을 가능하게 한다.
• ${\mathcal{N}}=2$ 퀘이버 게이지 이론에서 $qq$-특성과 선/표면 결함의 기하학적 기초 제공.

제안 방법

• 칼라비-아우 4차원 다양체 내에서 좌표 ${\mathbb{C}}^2$ 평면들의 합집합 위에서 스피크드 인스탄톤에 대한 일반화된 ADHM 방정식 도입 — 전하 $k$ 및 프레임 데이터 $\vec{n}$ 로 매개변수화.
• 오비폭션 작용 $\Gamma \subset SU(4)$ 와 표현 $\mathcal{R}_{\vec{\omega}}$ 를 사용하여 모듈리 공간의 퀘이버 형태 ${{\mathfrak{M}}}_{\mathbf{k}}^{\gamma}(\vec{\underline{\mathbf{n}}})$ 정의.
• 토러스 등변 코homology 및 K-이론을 사용하여 $qq$-특성을 게이지 불변 연산자로 기하학적으로 실현하는 대응 관계 정의.
• 트레이스 함수 $\delta_{A,\vec{\omega},n}$ 를 통해 연산자 $B_a$ 와 $I_C$ 의 노름을 추정하여 성장도 통제하고 고정점 집합의 컴팩트성 증명.
• 국소화 기법과 해석적 성질을 적용해 모듈리 공간을 통합하고, 이는 게이지 이론의 상관 함수와 연결.
• $\Gamma$-등변 프레임 sheaf와 $\vec{\omega}$-등급 성분 $K_{A,\vec{\omega}}$ 를 포함하는 컴팩트성 추론 일반화.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 칼라비-아우 4차원 다양체 내에서 교차하는 ${\mathbb{C}}^2$ 평면들을 갖는 분할된 시공간에서 비가환 인스탄톤에 대한 ADHM 구성은 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 표면 및 점형 결함을 갖는 스피크드 인스탄톤의 모듈리 공간의 구조는 무엇이며, 이는 퀘이버 게이지 이론과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 스피크드 인스탄톤의 모듈리 공간에서 토러스 고정점 집합이 컴팩트해지는 조건은 무엇인가?
• RQ4 이러한 모듈리 공간에서의 코homological 및 K-이론적 연산은 어떻게 $qq$-특성과 결함 연산자를 실현하는가?
• RQ5 퀘이버 구조는 고정점 집합의 컴팩트성을 유지하기 위해 어떤 조건을 가져야 하는가?

주요 결과

• 칼라비-아우 4차원 다양체 내에서 여섯 개의 ${\mathbb{C}}^2$ 평면의 합집합 위에서 정의된 스피크드 인스탄톤의 모듈리 공간 ${{\mathfrak{M}}}_{k}^{*}(\vec{n})$ 는 잘 정의되어 있으며, 토러스 고정점 분석을 통해 컴팩트화가 가능하다.
• $\Gamma$-고정점 집합은 ${{\mathfrak{M}}}_{\underline{\mathbf{k}}}^{\gamma_{\Gamma}}(\vec{\underline{\mathbf{n}}})$ 로 분해되며, 각 성분은 $\Gamma$-등변 프레임 및 결함 데이터를 갖는 인스탄톤을 매개변수화한다.
• 다양한 토러스에 대한 고정점 집합의 컴팩트성 정리는, $\Gamma$-등급 성분 $K_{A,\vec{\omega}}$ 에서의 트레이스 함수 $\delta_{A,\vec{\omega},n}$ 를 사용해 노름 $\|B_a\|^2$ 를 유계화함으로써 증명된다.
• 퀘이버 모듈리 공간 ${{\mathfrak{M}}}_{\mathbf{k}}^{\gamma}(\vec{\underline{\mathbf{n}}})$ 는 원래 모듈리 공간을 일반화하며, 동일한 조건 하에서 컴팩트성 정리를 지닌다.
• 고정점의 컴팩트성은 ${\mathcal{N}}=2$ 퀘이버 게이지 이론에서 $qq$-특성에 대한 비추상적 다이슨-슈윙거 항등식 유도를 가능하게 한다.
• 이 구성은 모듈리 공간을 통해 코homological 및 K-이론적 양자장 이론에서 $qq$-특성을 대응 관계로서 기하학적으로 실현한다.