[논문 리뷰] BPS Lie algebras for totally negative 2-Calabi-Yau categories and nonabelian Hodge theory for stacks

Ben Davison, Lucien Hennecart외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 12. 15.

Algebraic structures and combinatorial models인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 완전히 음수인 2-Calabi–Yau 범주에 대해 코호몰로지적 힐베르트 대수(CoHA)와 BPS 리 대수를 시각적 이론적 구조로 도입하며, BPS 대수가 단순 모듈러스 공간의 교차 코hom로 자유롭게 생성됨을 증명한다. 히그(bundle)과 곡선 위의 외부 국소계에서 비아벨리안 호지 동형사상을 수립하고, 보체크–시프만의 양성성 추측을 증명한다: 완전히 음수인 퀘일의 구성 가능 힐베르트 대수에서 니르프 다항식의 계수는 모두 양수이다.

ABSTRACT

We define and study a sheaf-theoretic cohomological Hall algebra for suitably geometric Abelian categories $\mathcal{A}$ of homological dimension at most two, and a sheaf-theoretic BPS algebra under the conditions that $\mathcal{A}$ is 2-Calabi-Yau and has a good moduli space. We show that the BPS algebra for the preprojective algebra $Π_Q$ of a totally negative quiver is the free algebra generated by the intersection cohomology of the closure of the locus parameterising simple $Π_Q$-modules in the coarse moduli space. We define and study the BPS Lie algebra of arbitrary 2-Calabi-Yau categories $\mathcal{A}$ for which the Euler form is negative on all pairs of non-zero objects, which recovers the BPS algebra as its universal enveloping algebra for such "totally negative" 2CY categories. We show that for totally negative 2CY categories the BPS algebra is freely generated by intersection complexes of certain coarse moduli spaces as above, and the Borel-Moore homology of the stack of objects in such $\mathcal{A}$ satisfies a Yangian-type PBW theorem for the BPS Lie algebra. In this way we prove the cohomological integrality theorem for these categories. We use our results to prove that for $C$ a smooth projective curve, and for $r$ and $d$ not necessarily coprime, there is a nonabelian Hodge isomorphism between the Borel-Moore homologies of the stack of rank $r$ and degree $d$ Higgs bundles, and the appropriate stack of twisted representations of the fundamental group of $C$. In addition we prove the Bozec-Schiffmann positivity conjecture for totally negative quivers; we prove that their polynomials counting cuspidal functions in the constructible Hall algebra for $Q$ have positive coefficients, strengthening the positivity theorem for the Kac polynomials of such quivers.

연구 동기 및 목표

• 2차원 아벨 범주에 대해 양호한 모듈러스 공간을 갖는 CoHA의 시각적 이론적 구조를 개발한다.
• 완전히 음수인 2-Calabi–Yau 범주에 대해 BPS 리 대수를 정의하고 연구한다. 여기서 오일러 형식은 모든 0이 아닌 쌍에서 엄격히 음수이다.
• BPS 대수가 단순 대상의 계수 모듈러스 공간의 교차 코호몰로지류로 자유롭게 생성됨을 증명한다.
• 완전히 음수인 2CY 범주의 CoHA에 대해 양반형 PBW 정리를 수립하고, 이를 양안형 구조와 연결한다.
• 비특이 스택적 모듈러스 공간으로 비아벨리안 호지 이론을 확장하고, 완전히 음수인 퀘일에 대해 보체크–시프만의 양성성 추측을 증명한다.

제안 방법

• 2차 코호몰로지 차원 ≤2인 2-Calabi–Yau 범주의 대상의 양호한 모듈러스 공간 위에 시각적 이론적 CoHA를 구성한다.
• BPS 리 대수를 계수 모듈러스 공간 내 단순 대상의 궤적 폐쇄의 교차 코호몰로지로 생성되는 자유 리 대수로 정의한다.
• 가상의 당김과 준스무스 사상들을 사용하여 파생 설정에서 CoHA 구조를 정의한다.
• Sevenhant–Van den Bergh 정리를 적용하여 힐베르트 대수가 자유임을 보이며, 이는 BPS 리 대수가 자유임을 암시한다.
• BPS 리 대수의 푸앵카레 급수와 모듈러스 공간의 교차 푸앵카레 다항식 사이의 문자 공식을 수립한다.
• CoHA의 PBW 정리를 사용하여 대상 스택의 보렐-무어 코호몰로지가 BPS 리 대수의 보편 포괄 대수와 동형임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 2-Calabi–Yau 범주에 대해 계수 모듈러스 공간 위에 CoHA를 시각적 이론적 구조로 정밀화할 수 있는가?
• RQ2 완전히 음수인 2-Calabi–Yau 범주에서 BPS 리 대수의 구조는 무엇이며, BPS 대수와의 관계는 어떠한가?
• RQ3 히그(bundle)과 곡선 위의 외부 국소계의 특이 스택에 대해 비아벨리안 호지 동형사상을 수립할 수 있는가?
• RQ4 완전히 음수인 퀘일의 구성 가능 힐베르트 대수에서 니르프 함수를 세는 다항식의 계수는 모두 양수인가?
• RQ5 BPS 리 대수의 푸앵카레 급수와 모듈러스 공간의 교차 코호몰로지 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 완전히 음수인 퀘일의 전프로젝티브 대수에 대해 BPS 대수는 계수 모듈러스 공간 내 단순 모듈러스의 궤적 폐쇄의 교차 코호몰로지로 자유롭게 생성된다.
• 완전히 음수인 2CY 범주의 대상 스택의 보렐-무어 코호몰로지는 BPS 리 대수를 생성자로 갖는 양안형 유형의 PBW 정리를 만족한다.
• 성별 $g \geq 2$인 매끄럽고 사영인 곡선 $C$에 대해, 히그(bundle)의 스택과 외부 국소계의 스택 사이에 보렐-무어 코호몰로지에 대한 비아벨리안 호지 동형사상이 존재한다.
• 완전히 음수인 퀘일에 대해 보체크–시프만의 양성성 추측이 성립한다: 절대 니르프 함수를 세는 다항식 $C_{Q,\nvmathbf{d}}^\text{abs}(q)$의 계수는 $\mathbf{N}[q]$에 속한다.
• BPS 리 대수의 문자는 $\mathrm{ch}(\mathfrak{g}_{\Pi_Q}^{\operatorname{BPS}}) = \sum_{\mathbf{d}} A_{Q,\mathbf{d}}(q^{-2}) z^{\mathbf{d}}$로 주어지며, 그 아벨리안화는 교차 푸앵카레 다항식 $\operatorname{IP}(\mathcal{M}_{\Pi_Q,\mathbf{d}}, q)$와 일치한다.
• 모든 $\mathbf{d} \in \Sigma_Q$에 대해 $C_{Q,\mathbf{d}}(q^{-2}) = \operatorname{IP}(\mathcal{M}_{\Pi_Q,\mathbf{d}}, q)$가 성립하며, 이는 니르프 다항식과 교차 코호몰로지 사이의 연결고리를 제공한다.