[논문 리뷰] BQP-complete Problems Concerning Mixing Properties of Classical Random Walks on Sparse Graphs

Dominik Janzing, Paweł Wocjan|ArXiv.org|2006. 10. 27.

Markov Chains and Monte Carlo Methods참고 문헌 14인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 희박하고 대칭적인 그래프에서의 고전적 랜덤 워크의 혼합 성질과 관련된 두 개의 BQP-완전 문제를 제시한다. 경로 수의 차이를 다항로그 단계 이내로 추정하는 것과 연속시간 워크에서 확률 차이의 감쇠 속도를 결정하는 것은 양자계산적으로 어려운 문제임을 보여주며, 이는 고전적 확률 과정에서 미세한 혼합 행동을 다루는 문제를 효율적으로 해결할 수 있다는 점에서 양자 컴퓨터의 우월성을 입증한다.

ABSTRACT

We describe two BQP-complete problems concerning properties of sparse graphs having a certain symmetry. The graphs are specified by efficiently computable functions which output the adjacent vertices for each vertex. Let i and j be two given vertices. The first problem consists in estimating the difference between the number of paths of length m from j to j and those which from i to j, where m is polylogarithmic in the number of vertices. The scale of the estimation accuracy is specified by some a priori known upper bound on the growth of these differences with increasing m. The problem remains BQP-hard for regular graphs with degree 4. The second problem is related to continuous-time classical random walks. The walk starts at some vertex j. The promise is that the difference of the probabilities of being at j and at i, respectively, decays with O(exp(-μt)) for some μ>0. The problem is to decide whether this difference is greater than a exp(-μT) or smaller than b exp(-μT) after some time instant T, where T is polylogarithmic and the difference a-b is inverse polylogarithmic in the number of vertices. Since the probabilities differ only by an exponentially small amount, an exponential number of trials would be necessary if one tried to answer this question by running the walk itself. A modification of this problem, asking whether there exists a pair of nodes for which the probability difference is at least a exp(-μT), is QCMA-complete.

연구 동기 및 목표

• 양자역학의 단순 재구성에 불과하지 않은, 그래프 이론에서 자연스럽고 조합론적으로 의미 있는 BQP-완전 문제를 특정하는 것.
• 희박한 그래프에서 두 정점 사이의 길이 m의 경로 수의 차이를 추정하는 것이 BQP-완전임을 입증하는 것.
• 정규 희박 그래프에서 연속시간 고전적 랜덤 워크의 확률 차이의 감쇠 속도를 결정하는 것이 BQP-완전임을 보여주는 것.
• 특정 쌍의 대칭 정점들이 느린 감쇠를 보이는지 여부를 묻는 혼합 문제의 변형이 QCMA-완전임을 보여주며, 복잡도 클래스 간의 차이를 부각하는 것.

제안 방법

• 희박한 인접 행렬의 스펙트럼 모멘트를 추정하기 위해 양자 단계 추정을 서브루틴으로 사용하여, 경로 및 확률 차이의 효율적 계산을 가능하게 한다.
• 희박한 행렬 A의 m제곱 행렬의 j번째 대각성분을 추정하는 양자 알고리즘을 구축하여, j에서 j로 길이 m의 경로 수를 세는 데 해당한다.
• 인접 행렬을 ±1, 0 성분을 가진 양자 관측량으로 표현하여, 경로 수의 차이 추정 문제를 스펙트럼 모멘트 추정 문제로 환원한다.
• 연속시간 랜덤 워크를 행렬 지수 e^{-tA}로 모델링하며, A는 그래프 라플라시안이다. 여기서 단계 추정을 사용하여 대칭 정점 간의 확률 차이 감쇠를 추정한다.
• 증거 기반 구축을 적용하여, 자동형에 의해 유도된 정점 쌍을 가진 그래프로 QCMA-완전 문제를 환원하며, 수용은 확률 차이의 느린 감쇠를 의미한다.
• 그래프 정점을 재정렬하여 양자 레지스터 상태를 정점 쌍 (2j, 2j+1)로 매핑함으로써, 초위상 상태의 초위상 추정을 사용하여 느리게 감쇠하는 차이를 탐지할 수 있도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 희박한 그래프에서의 고전적 랜덤 워크의 혼합 성질과 관련된 문제들이 BQP-완전임을 입증할 수 있는가?
• RQ2 희박한 그래프에서 두 정점 사이의 m단계 경로 수의 차이를 추정하는 것은 BQP-완전 문제인가?
• RQ3 연속시간 랜덤 워크에서 두 대칭 정점 간의 확률 차이 감쇠 속도는 양자 컴퓨터가 효율적으로 결정할 수 있는가?
• RQ4 주어진 시간 T 내에 어떤 대칭 정점 쌍이 일정 임계값 이상의 확률 차이를 보이는지 여부를 결정하는 문제의 복잡도는 무엇인가?
• RQ5 BQP와 QCMA 복잡도 클래스는 희박한 그래프의 스펙트럼 성질을 다루는 문제들과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 희박한 그래프에서 정점 i에서 j로 가는 m단계 경로 수와 j에서 j로 가는 m단계 경로 수의 차이를 추정하는 문제는 4-정규 그래프일지라도 BQP-완전이다.
• 연속시간 혼합 문제—두 대칭 정점 간의 확률 차이가 주어진 지수 경계보다 느리게 감쇠하는지 여부를 결정하는 문제—는 BQP-완전이다.
• 시간 T와 감쇠 매개변수 a, b가 정점 수에 대해 다항로그일 때, 그리고 차이 a−b가 역다항로그일 때 문제의 복잡도는 그대로 BQP-완전을 유지한다.
• 특정 쌍의 대칭 정점들이 확률 차이가 임계값 이상인지를 묻는 혼합 문제의 변형은 QCMA-완전이다.
• 결과적으로, 양자 컴퓨터는 고전적 방법으로 해결하기 위해 지수적 수의 시행이 필요한, 지수적으로 작은 확률 차이를 포함하는 문제를 효율적으로 해결할 수 있음을 보여준다.
• 구성은 스펙트럼 분해와 효율적으로 계산 가능한 인접 함수를 가진 희박 행렬에 대한 단계 추정에 기반하며, 고전적 확률 과정과 양자 계산 복잡도 이론 간의 다리를 놓는다.