[논문 리뷰] Brace Bar-Cobar Duality

Justin Young|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 11.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 13인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 호프 대수에서 $\mathcal{S}_2$-대수로의 강화된 바르 구축 $B$의 엄밀한 왼쪽 수반 $\times\Omega$와 코바르 구축 $\Omega$ 사이의 호모토피 동치를 확립하며, $\u03a9BA$ 가 $\mathcal{S}_2$-대수로서 $A$ 와 동치임을 증명한다. 카데이시벨리의 부호를 수정한 공식을 사용하여, $\u03a9(UL)^\vee$ 가 체발리–일렌버그 코체인 복합체 $C^*(L)$ 와 동치임을 보이며, 이는 $S^*(X)$ 가 특정 조건 하에 교환 법칙을 만족하는 $\mathcal{S}_2$-대수임을 시사한다.

ABSTRACT

Using Kadeishvili's formulas with appropriate signs, we show that the classical cobar construction from coalgebras to algebras Ω: CoAlg -> Alg can be enhanced to a functor from Hopf algebras to E_2 algebras (for a certain choice of E_2 operad) Ω: HopfAlg -> E_2 Alg, which, unlike its classical counterpart, is not strictly adjoint, but homotopically equivalent to the left adjoint of the enhanced bar construction B: E_2 Alg -> HopfAlg studied by Gerstenhaber--Voronov and Fresse.

연구 동기 및 목표

• 호프 대수에서 $\mathcal{S}_2$-대수로의 강화된 바르 및 코바르 함자들을 통해 $\mathcal{S}_2$-대수와 호프 대수 사이의 호모토피 관계를 수립한다.
• Fresse의 추측을 $n=2$ 에서 해결하기 위해 $\Omega BA \simeq A$ 가 $\mathcal{S}_2$-대수로서 성립함을 보인다.
• 조건 $1/2 \in R$ 하에서 $\Omega(UL)^\vee$ 가 $C^*(L)$ 와 동치임을 보이며, 이는 교환 법칙을 가진 $\mathcal{S}_2$-대수임을 의미한다.
• 공변 복합체 $S^*(X)$ 를 그에 상응하는 호프 대수 $BS^*(X)$ 를 통해 연구할 수 있는 프레임워크를 제공함으로써, 호모토피 이론적 재구성을 가능하게 한다.

제안 방법

• 카데이시벨리의 부호를 수정한 공식을 사용하여, 고전적인 바르 구축 $B: \mathcal{S}_2\text{-Alg} \to \text{HopfAlg}$ 와 코바르 구축 $\Omega: \text{HopfAlg} \to \mathcal{S}_2\text{-Alg}$ 를 강화한다.
• 바르 구축 $B$ 의 엄밀한 왼쪽 수반 $\widetilde{\Omega}: \text{HopfAlg} \to \mathcal{S}_2\text{-Alg}$ 를 도입하고, 자연 변환 $\widetilde{\Omega} \to \Omega$ 를 구성한다.
• 도함수 호모토피 $h$ 를 사용하여, $\partial h + h\partial = \text{id} - p$ 를 만족하는 체인 호모토피를 구성한다. 여기서 $p$ 는 바르 구축의 상에 대한 투영이다.
• 포함 사상 $C_*(L) \to BUL$ 의 쌍대 $\alpha: (UL)^\vee \to C^*(L)$ 인 전개 사상 $\alpha$ 를 적용하여 $\Omega(UL)^\vee$ 와 체발리–일렌버그 복합체 간의 관계를 설정한다.
• 전개 사상 $\alpha$ 가 호프 전개 사상임을 증명함으로써, $\Omega(UL)^\vee \to C^*(L)$ 가 $\mathcal{S}_2$-대수로서 약한 동치임을 보인다.
• 호프 대수에 모델 구조가 존재하지 않음에도 불구하고, Mandell 의 결과를 바탕으로 $\mathcal{S}_2$-대수에 대한 반모델 구조를 활용하여 호모토피 쌍대극과 사상 공간을 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코바르 구축 $\Omega: \text{HopfAlg} \to \mathcal{S}_2\text{-Alg}$ 는 바르 구축 $B$ 의 엄밀한 왼쪽 수반 $\widetilde{\Omega}$ 와 호모토피적으로 동치인가?
• RQ2 모든 $\mathcal{S}_2$-대수 $A$ 에 대해 $\Omega BA$ 는 호모토피적으로 원래의 $\mathcal{S}_2$-대수 $A$ 를 복원하는가?
• RQ3 $\Omega(UL)^\vee$ 는 $\mathcal{S}_2$-대수로서 체발리–일렌버그 코체인 복합체 $C^*(L)$ 와 동치인가?
• RQ4 $\mathcal{S}_2$-대수 구조 $S^*(X)$ 는 바르–코바르 수반을 통해 호프 대수 $BS^*(X)$ 에서 복원될 수 있는가?

주요 결과

• 코바르 구축 $\Omega: \text{HopfAlg} \to \mathcal{S}_2\text{-Alg}$ 는 바르 구축 $B$ 의 엄밀한 왼쪽 수반 $\widetilde{\Omega}$ 와 호모토피적으로 동치이며, 이는 $\text{HopfAlg}$ 와 $\mathcal{S}_2\text{-Alg}$ 사이의 오른쪽 반모델 근사화를 확립한다.
• Fresse의 추측, 즉 $\Omega BA \simeq A$ 가 $\mathcal{S}_2$-대수로서 성립한다는 것은 $n=2$ 에서 참임을 증명하였으며, 자연 변환 $\widetilde{\Omega} \to \Omega$ 를 통해 실현된다.
• $\mathcal{S}_2$-대수 $\Omega(UL)^\vee$ 는 조건 $1/2 \in R$ 하에서 $C^*(L)$, 즉 리 대수 $L$ 의 체발리–일렌버그 코체인 복합체와 동치이며, 이는 $\Omega(UL)^\vee$ 가 호모토피적으로 교환 법칙을 만족함을 보여준다.
• 전개 사상 $\alpha: (UL)^\vee \to C^*(L)$ 는 호프 전개 사상이며, 그 쌍대는 $\mathcal{S}_2$-대수로서 약한 동치 $\Omega(UL)^\vee \to C^*(L)$ 를 유도한다.
• 결과적으로, 충분히 연결되어 있고 저차원인 공간 $X$ 에 대해 공변 복합체 $S^*(X)$ 는 $BS^*(X) \simeq (UL_X)^\vee$ 를 통해 엄밀히 교환 법칙을 만족하는 대수 $C^*(L_X)$ 와 $\mathcal{S}_2$-대수로서 동치임을 시사한다.
• 모델 구조가 존재하지 않는 $\text{HopfAlg}$ 에도 불구하고, $\mathcal{S}_2\text{-Alg}$ 에 대한 반모델 구조 덕분에 호프 대수를 통해 $\mathcal{S}_2$-대수를 호모토피 이론적으로 연구할 수 있는 프레임워크를 제공한다.