[논문 리뷰] Braided fusion categories, gravitational anomalies, and the mathematical framework for topological orders in any dimensions

Liang Kong, Xiao-Gang Wen|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 22.

Black Holes and Theoretical Physics인용 수 89

한 줄 요약

이 논문은 BF 분류를 사용하여 임의의 차원에서의 위상적 순서와 중력적 이상을 위한 통합 수학적 프레임워크를 수립한다. 위상적 순서는 d 차원에서 닫힌 BF 분류로 분류되며, 이상이 있는 이론들은 고차원 위상적 순서의 경계로 나타난다. 주요 결과는 홀로그래픽 dualit의 존재이다: 고체 위상적 순서는 고체 경계에 의해 유일하게 결정되며, 이는 차원을 넘는 BF 분류의 코체인 복합체를 이룬다.

ABSTRACT

Gravitational anomalies can be realized on the boundary of topologically ordered states in one higher dimension and are described by topological orders in one higher dimension. In this paper, we try to develop a general theory for both topological order and gravitational anomaly in any dimensions. (1) We introduce the notion of BF category to describe the braiding and fusion properties of topological excitations that can be point-like, string-like, etc. A subset of BF categories -- closed BF categories -- classify topological orders in any dimensions, while generic BF categories classify (potentially) anomalous topological orders that can appear at a boundary of a gapped quantum liquid in one higher dimension. (2) We introduce topological path integral based on tensor network to realize those topological orders. (3) Bosonic topological orders have an important topological invariant: the vector bundles of the degenerate ground states over the moduli spaces of closed spaces with different metrics. They may fully characterize topological orders. (4) We conjecture that a topological order has a gappable boundary iff the above mentioned vector bundles are flat. (5) We find a holographic phenomenon that every topological order with a gappable boundary can be uniquely determined by the knowledge of the boundary. As a consequence, BF categories in different dimensions form a (monoid) cochain complex, that reveals the structure and relation of topological orders and gravitational anomalies in different dimensions. We also studied the simplest kind of bosonic topological orders that have no non-trivial topological excitations. We find that this kind of topological orders form a $\mathbb{Z}$ class in 2+1D (with gapless edge), a $\mathbb{Z}_2$ class in 4+1D (with gappable boundary), and a $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$ class in 6+1D (with gapless boundary).

연구 동기 및 목표

• 모든 공간 차원에서 위상적 순서와 중력적 이상을 분류하기 위한 일반적인 수학적 프레임워크를 개발하는 것.
• 중력적 이상과 한 차원 높은 차원에서의 위상적 순서의 경계 사이의 대응 관계를 수립하는 것.
• BF 분류를 도입하여 점입자형, 끈형 등 모든 차원의 입자형을 기술하는 브라운드 퓨전 분류의 일반화를 제공하는 것.
• 임의의 차원에서 이러한 위상적 순서를 실현하는 텐서 네트워크를 통한 위상적 경로 적분을 제안하는 것.
• 위상적 순서가 고체 경계를 가질 수 있는 조건은 그 모듈리 공간 위의 지배 상태 벡터 복합체가 평탄할 때이므로, 이를 추측하는 것.

제안 방법

• 위상 양자장이론에서 임의의 차원성을 가진 위상적 비틀림과 융합을 기술하기 위해 BF 분류를 도입한다.
• 닫힌 BF 분류를 정의하여 d 차원에서 진정한 위상적 순서를 분류하는 하위집합으로 삼으며, 일반 BF 분류는 경계에서만 존재할 수 있는 잠재적인 이상 이론을 기술한다.
• 제안된 위상적 순서를 임의의 차원에서 실현하기 위해 텐서 네트워크를 사용한 위상적 경로 적분을 구성한다.
• 보존 위상적 순서를 특징짓기 위해 리만 계량의 모듈리 공간 위의 디세너레이션된 지배 상태의 벡터 복합체를 사용한다.
• 역행성 위상적 순서를 분류하고 특징 클래스(포트리아진 및 스티펠-블랙맨 수)를 통해 이상을 탐지하기 위해 코보르디즘 군 ΩⁿSO를 적용한다.
• BF 분류에 대해 차원을 넘는 코체인 복합체의 구조를 수립하여 홀로그래픽 복합체-경계 관계와 이상 유입 현상을 드러낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 임의의 공간 차원에서 위상적 순서와 중력적 이상을 체계적으로 분류할 수 있는가?
• RQ2 점입자형, 끈형 등 모든 차원의 입자를 기술하는 데 일반화된 브라운드 퓨전 분류의 수학적 구조는 무엇인가?
• RQ3 d 차원에서의 중력적 이상은 (d+1) 차원에서의 위상적 순서의 경계와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 모듈리 공간 위의 지배 상태의 벡터 복합체가 위상적 순서를 완전히 특징짓는 데 충분한가?
• RQ5 위상적 순서가 고체 경계를 가질 수 있는 정확한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• d 차원에서의 중력적 이상은 (d+1) 차원에서의 위상적 순서의 경계로 실현되며, 이는 홀로그래픽 dualit를 수립한다.
• 닫힌 BF 분류는 임의의 차원에서 위상적 순서를 분류하며, 일반 BF 분류는 경계에서만 존재할 수 있는 이상 이론을 기술한다.
• 2+1차원에서 비어 있는 비트리비얼 anyon을 가진 보존 위상적 순서는 Z 분류를 이룬다. 이 경우 경계에는 고체 모드가 존재한다.
• 4+1차원에서는 이러한 순서는 Z₂ 분류를 이룬다. 이 경우 고체 경계가 존재할 수 있다.
• 6+1차원에서는 분류가 Z⊕Z이며, 경계에는 고체 모드가 존재한다.
• 추측은 증거에 의해 지지된다: 위상적 순서가 고체 경계를 가질 수 있는 것은 그 모듈리 공간 위의 지배 상태의 벡터 복합체가 평탄할 때이다.