[논문 리뷰] Branch-and-bound for biobjective mixed integer programming

Nathan Adelgren, Akshay Gupte|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 12.

Advanced Multi-Objective Optimization Algorithms참고 문헌 46인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 이목적 혼합정수계획문제를 해결하기 위해 전체 파레토 집합을 효율적으로 계산하는 새로운 분할정복 알고리즘을 제안한다. 새로운 이중 bound 계산, 노드 탐색 중단, 사전처리 및 이중성 갭 기법을 도입하여 문헌에 등재된 사례에서 삼각형 분할 방법보다 뛰어난 성능을 보이며, 어려운 문제 세트에서 평균적으로도 뛰어난 성능을 보였다.

ABSTRACT

We present a generic branch-and-bound method for finding all the Pareto solutions of a biobjective mixed integer program. Our main contribution is new algorithms for obtaining dual bounds at a node, for checking node fathoming, presolve and duality gap measurement. Our various procedures are implemented and empirically validated on instances from literature and a new set of hard instances. We also perform comparisons against the triangle splitting method of Boland et al. [\emph{INFORMS Journal on Computing}, extbf{27} (4), 2015], which is a objective space search algorithm as opposed to our variable space search algorithm. On each of the literature instances, our branch-and-bound is able to compute the entire Pareto set in significantly lesser time. Most of the instances of the harder problem set were not solved by either algorithm in a reasonable time limit, but our algorithm performs better on average on the instances that were solved.

연구 동기 및 목표

• 이목적 혼합정수계획문제에서 모든 파레토 최적 해를 계산하기 위한 일반적인 분할정복 프레임워크를 개발하는 것.
• 각 노드에서의 이중 bound 추정을 향상시켜 경계를 강화하고 수렴 속도를 높이는 것.
• 노드 탐색 중단 기준과 이중성 갭 측정을 개선하여 탐색 트리의 비효율적인 분지들을 더 효과적으로 제거하는 것.
• 문제 크기를 줄이고 계산 효율성을 향상시키기 위해 효과적인 사전처리 기법을 통합하는 것.
• 목표 공간에서의 최신 기술인 삼각형 분할 방법과의 실험적 성능 비교를 통해 성능를 검증하는 것.

제안 방법

• 알고리즘은 변수 공간 탐색을 수행하여 모든 지지된 및 지지되지 않은 파레토 해를 식별한다.
• 가중합 스칼라화와 이중 해를 이용하여 각 노드에서 새로운 이중 bound 계산 기법을 도입하여 경계를 강화한다.
• 목표 공간의 경계와 이중 bound를 조합하여 비효율적인 분지를 조기에 제거함으로써 노드 탐색 중단을 향상시킨다.
• 수렴 상태를 정확히 모니터링하고 전체 파레토 집합 향한 탐색을 안내하기 위해 이중성 갭 측정 메커니즘을 개발한다.
• 분기 이전에 변수를 고정하고 제약 조건을 강화함으로써 문제 크기를 줄이기 위해 사전처리 절차를 적용한다.
• 효율성을 향상시키기 위해 동적 노드 선택 및 웜스타트 전략을 통합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 변수 공간 기반의 분할정복 접근법이 목표 공간 기반 방법보다 이목적 혼합정수계획문제의 전체 파레토 집합을 더 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 제안된 이중 bound 및 탐색 중단 기법이 탐색 트리 크기를 얼마나 효과적으로 줄이는가?
• RQ3 새로운 사전처리 및 이중성 갭 메커니즘이 수렴 속도와 해의 계산 속도 향상에 어느 정도 기여하는가?
• RQ4 표준 및 어려운 문제 사례에서 삼각형 분할 방법과의 비교 성능은 어떠한가?
• RQ5 해당 알고리즘은 기존 방법 대비 해결 시간 및 확장성 측면에서 얼마나 큰 성능 격차를 보이는가?

주요 결과

• 문헌에 등재된 사례에서 제안된 분할정복 방법은 삼각형 분할 방법보다 전체 파레토 집합을 훨씬 빠르게 계산하였다.
• 어려운 문제 사례에서 알고리즘이 평균적으로 뛰어난 성능를 보이며, 합리적인 시간 제한 내에 더 많은 문제를 해결하였다.
• 새로운 이중 bound 및 탐색 중단 기법이 수렴 속도 향상과 노드 탐색 감소에 기여하였다.
• 사전처리 절차는 문제 크기를 효과적으로 줄여 전체 런타임 효율성을 향상시켰다.
• 이중성 갭 측정 기법은 수렴 상태 정확한 모니터링과 해 품질 보장 향상에 기여하였다.
• 모든 해결 가능한 사례에서 알고리즘이 모든 파레토 해를 성공적으로 식별하여 완전성과 강건성을 입증하였다.